[AIUTO] Teorema della divergenza in $RR^3$

[adelaidepugliese1]

Salve ragazzi, sto preparando l'esame di Analisi 2 e non mi è chiaro come impostare un esercizio quando mi chiede di calcolare il flusso di una funzione attraverso una superficie.

Per esempio, come dovrei procedere con questo esercizio?
"Si consideri la superficie $ S = {(x,y,z) ∈ RR^3 : x^2 + y^2 + z^2 = R^2,z >= 0} $
orientata in modo che il suo versore normale abbia la terza componente positiva.
Sia $f : RR^3 →RR^3$ il campo vettoriale
$f(x,y,z) =$ $\{( y + z−(x + z)y^2 + 2),( x + y−xy + 2 ),((x + y^2)z + 2):}$
Calcolare il flusso di f attraverso S.
[Suggerimento: usare il teorema della divergenza]"
Grazie in anticipo

[Berationalgetreal]

In che senso non ti è chiaro come impostare? Il suggerimento mi sembra abbastanza chiaro e diretto: <>. Non lo conosci? Tieni conto che il flusso è definito come:

$$\Phi \left (\overrightarrow f \right) = \oint_{S} \overrightarrow f \cdot \hat n \ \text{d} s$$

dove $\hat n$ è un versore normale alla superficie. Applica il teorema della divergenza e vedi cosa riesci ad ottenere.

[donald_zeka]

S non è una superficie chiusa, non vedo come si possa usare il teorema della divergenza

[adelaidepugliese1]

"Berationalgetreal": In che senso non ti è chiaro come impostare?

Conosco il teorema, ma una volta calcolata la divergenza non so come continuare..

[Berationalgetreal]

"Vulplasir":S non è una superficie chiusa, non vedo come si possa usare il teorema della divergenza

In realtà si può usare anche con le superfici non chiuse. Si considera una superficie costituita da quella aperta ed un'altra (magari una porzione di piano) in modo che sia chiusa. Poi si sfrutta l'addittività degli integrali. Non sempre conviene però.

[donald_zeka]

Beh si certo, una superficie aperta può sempre essere chiusa con un'altra superficie...mi chiedo se chi ha posto la domanda si sia accorto o meno che S non è chiusa e che quindi va chiusa in qualche modo...comunque per rispondere:

conosco il teorema, ma una volta calcolata la divergenza non so come continuare..

Una volta calcolata la divergenza calcoli l'integrale della divergenza nel volume racchiuso dalla tua "superficie chiusa", come dice il teorema

[dissonance]

Questo è un esercizio interessante, perché calcolare il flusso direttamente è molto complicato, però usando intelligentemente il teorema della divergenza uno ottiene una semplificazione grandissima. La superficie su cui integrare si chiama \(S\). Chiamiamo \(D\) il disco
\[
D=\{x^2+y^2=R^2\ ,\ z=0\}.\]
L'unione di \(S\) e \(D\) è una superficie chiusa, una calotta sferica, chiamiamola \(C\):
\[
C=S\cup D.\]
Il flusso attraverso \(C\) è la somma del flusso attraverso \(S\) e del flusso attraverso \(D\), quindi, usando la notazione di Berationalgetreal,
\[
\Phi_S= \Phi_C-\Phi_D.\]
Questa è una semplificazione, perché il flusso attraverso \(C\) si può calcolare con il teorema della divergenza, mentre il flusso attraverso \(D\) si può calcolare direttamente, ed è MOLTO più semplice perché \(D\) è una superficie piana, e \(\vec F\cdot \vec n\) è costante su di essa. (Si può calcolare \(\Phi_D\) anche a mente, infatti).

[Berationalgetreal]

"dissonance":Questo è un esercizio interessante, perché calcolare il flusso direttamente è molto complicato, però usando intelligentemente il teorema della divergenza uno ottiene una semplificazione grandissima. La superficie su cui integrare si chiama \(S\). Chiamiamo \(D\) il disco
\[
D=\{x^2+y^2=R^2\ ,\ z=0\}.\]
L'unione di \(S\) e \(D\) è una superficie chiusa, una calotta sferica, chiamiamola \(C\):
\[
C=S\cup D.\]
Il flusso attraverso \(C\) è la somma del flusso attraverso \(S\) e del flusso attraverso \(D\), quindi, usando la notazione di Berationalgetreal,
\[
\Phi_S= \Phi_C-\Phi_D.\]
Questa è una semplificazione, perché il flusso attraverso \(C\) si può calcolare con il teorema della divergenza, mentre il flusso attraverso \(D\) si può calcolare direttamente, ed è MOLTO più semplice perché \(D\) è una superficie piana, e \(\vec F\cdot \vec n\) è costante su di essa. (Si può calcolare \(\Phi_D\) anche a mente, infatti).

Esatto, è ciò che intendevo. Un caso al massimo della semplicità è quando la divergenza del campo, e quindi anche il flusso, sono nulli, ovvero:

$$ \Phi_C =\Phi_D + \Phi_S = 0 \implies \Phi_S = - \Phi_D $$

In quel caso, il flusso su $S$ si fa veramente in un tempo brevissimo. Può sembrare soltanto un caso limite, ma capita fra gli esercizi.