Aiuto svolgimento integrale

[Lucamate]

Buongiorno a tutti,
da pochi giorni ho fatto lo scritto di analisi 1 e a breve avrò l'orale. Nella prova c'è un esercizio (facoltativo) che molto probabilmente mi verrà chiesto dal prof...volevo chiedervi un aiuto perchè sinceramente non ho ben chiaro come svolgerlo...il testo è il seguente:

Sia \( f \in C([0; 1]) \) una funzione continua. Calcolare il limite

$ lim_(n -> infty) nint_(1/n^2)^(1/n) f(x) dx $

Grazie per l'aiuto!

[Noisemaker]

le successioni $1/n^2$ e $1/n$ assumono entrambe valori compresi tra $[0,1],$ ed inoltre per ogni $n$ hai che $1/n^2\le1/n$

La funzione $f$ è continua in in $[0,1]$ dunque integrabile, detta $F(x)$ una sua generica primitiva , per il teorema fondamentale del calcolo integrale abbiamo che
\begin{align}
\lim_{n\to+\infty}n\cdot \int_{\frac{1}{n^2}}^{\frac{1}{n}} f(x)&=\lim_{n\to+\infty} n\cdot \left[F\left(\frac{1}{n}\right)-F\left(\frac{1}{n^2}\right)\right]= \lim_{n\to+\infty} \frac{ F\left(\frac{1}{n}\right)-F\left(\frac{1}{n^2}\right)}{\frac{1}{n}}\\
& = \lim_{t\to 0} \frac{ F\left(t\right)-F\left(t^2\right)}{t}\stackrel{\bf (H)}{=} \lim_{t\to 0} \frac{ F'\left(t\right)-2tF'\left(t^2\right)}{1}=F'(0)
\end{align}
poichè $F'(x)$ è continua

EDIT: corretto su segnalzaione il risultato!

[Lucamate]

Grazie mille non mi era venuta in mente la sostituzione e l'uso di De l'Hopital!

[Demostene92]

Perdonate la mia ignoranza, ma non capisco perchè quel limite finale viene $0$ e non $F'(0)$.

[Noisemaker]

perchè ho sbagliato a scrivere! .... perdono!

[Demostene92]

Io l'ho pensata così: $f$ è continua con derivata continua. Applicando il Teorema di Lagrange all'integrale si ottiene:

$\int_{1/n^2}^(1/n)f(x)dx=(n-1)/n^2f(\barx)$, dove $\barx\in[1/n^2,1/n]$.

Quindi $lim_{n\to\infty}n\int_{1/n^2}^(1/n)f(x)dx=lim_{n\to\infty}(n-1)/nf(\barx)=lim_{n\to\infty}f(\barx)=f(0)$.