Aiuto sviluppo in serie di Laurent
Posto un esercizio di questo tipo di cui non ho capito lo svolgimento (da un certo punto in poi).
Data questa funzione $ f(z) = \frac {1}{(z-1)(z-2)} , Z_0 = 0 $ calcolarne lo sviluppo di Laurent.
Viene fatta la decomposizione in fratti semplici, ottenendo:
$ f(z) = \frac {-1}{z-1} + \frac {1}{z-2} = \frac {1}{1-z} - \frac {1}{2(1 - \frac {z}{2})} $
Fino a qui è ovvio che si è cercato di ricondursi a serie geometriche di cui conosciamo lo sviluppo:
1) $ \frac {1}{1-z} = sum_(n>=0) z^n, per \|z\| < 1 $
2) $ \frac {1}{1-z} - \frac {1}{2(1 - \frac {z}{2})} = -\frac {1}{2} sum_(n>=0) (\frac {z}{2})^n = -sum_(n>=0) \frac {z^n}{2^(n+1)}, per \|z\| < 2 $
Ora comincio a capire poco.
Quindi nel cerchio $ \|z\| < 1 $ ,valendo entrambe, si ha:
$ f(z) = sum_(n>=0) (1 - \frac {1}{2^(n+1)})z^n, per \|z\| < 1 $
Suppongo abbia messo insieme le due serie geometriche ed abbia raccolto $ z^n $ ma non ho capito il
significato di Quindi nel cerchio $ \|z\| < 1 $ ,valendo entrambe...
Poi dice:
Nella corona circolare $ 1 < \|z\| < 2 $ vale solo 2). Al posto di 1) scriviamo:
3) $ - \frac {1}{z-1} = - \frac {1}{z(1-\frac{1}{z})} = - \frac {1}{z} sum_(n>=0) \frac {1}{z^n} = -sum_(n>=0) \frac {1}{z^(n+1)},
per \frac {1}{\|z\|} < 1, i.e, \|z\| > 1. $
Quindi nella corona $ 1 < \|z\| < 2 $ si ha lo sviluppo di Laurent
$ f(z) = -sum_(n>=0)\frac {1}{z^(n+1)} - sum_(n>=0) \frac {z^n}{2^(n+1)}, per 1 < \|z\| < 2 $
Nella corona esterna $ \|z\| > 2 $ vale 3) ed al posto di 2) scriviamo:
$ \frac {1}{z-2} = \frac {1}{z(1-\frac{2}{z})} = \frac {1}{z} sum_(n>=0) \frac {2^n}{z^n} = sum_(n>=0){2^n}{z^(n+1)},
per \frac {2}{\|z\|} < 1, i.e \|z\| < 2. $
Quindi nella corona esterna $ \|z\| > 2 $ si ha lo sviluppo di Laurent
$ f(z) = -sum_(n>=0) \frac {1}{z^(n+1)} + sum_(n>=0) \frac {2^n}{z^(n+1)} = sum_(n>=0) \frac {2^n - 1}{z^(n+1)}, per \|z\| > 2. $
Sembra una cosa meccanica ma non capisco come si fa a capire in quale cerchio valgono le funzioni e come si
trasformano di conseguenza.
Data questa funzione $ f(z) = \frac {1}{(z-1)(z-2)} , Z_0 = 0 $ calcolarne lo sviluppo di Laurent.
Viene fatta la decomposizione in fratti semplici, ottenendo:
$ f(z) = \frac {-1}{z-1} + \frac {1}{z-2} = \frac {1}{1-z} - \frac {1}{2(1 - \frac {z}{2})} $
Fino a qui è ovvio che si è cercato di ricondursi a serie geometriche di cui conosciamo lo sviluppo:
1) $ \frac {1}{1-z} = sum_(n>=0) z^n, per \|z\| < 1 $
2) $ \frac {1}{1-z} - \frac {1}{2(1 - \frac {z}{2})} = -\frac {1}{2} sum_(n>=0) (\frac {z}{2})^n = -sum_(n>=0) \frac {z^n}{2^(n+1)}, per \|z\| < 2 $
Ora comincio a capire poco.
Quindi nel cerchio $ \|z\| < 1 $ ,valendo entrambe, si ha:
$ f(z) = sum_(n>=0) (1 - \frac {1}{2^(n+1)})z^n, per \|z\| < 1 $
Suppongo abbia messo insieme le due serie geometriche ed abbia raccolto $ z^n $ ma non ho capito il
significato di Quindi nel cerchio $ \|z\| < 1 $ ,valendo entrambe...
Poi dice:
Nella corona circolare $ 1 < \|z\| < 2 $ vale solo 2). Al posto di 1) scriviamo:
3) $ - \frac {1}{z-1} = - \frac {1}{z(1-\frac{1}{z})} = - \frac {1}{z} sum_(n>=0) \frac {1}{z^n} = -sum_(n>=0) \frac {1}{z^(n+1)},
per \frac {1}{\|z\|} < 1, i.e, \|z\| > 1. $
Quindi nella corona $ 1 < \|z\| < 2 $ si ha lo sviluppo di Laurent
$ f(z) = -sum_(n>=0)\frac {1}{z^(n+1)} - sum_(n>=0) \frac {z^n}{2^(n+1)}, per 1 < \|z\| < 2 $
Nella corona esterna $ \|z\| > 2 $ vale 3) ed al posto di 2) scriviamo:
$ \frac {1}{z-2} = \frac {1}{z(1-\frac{2}{z})} = \frac {1}{z} sum_(n>=0) \frac {2^n}{z^n} = sum_(n>=0){2^n}{z^(n+1)},
per \frac {2}{\|z\|} < 1, i.e \|z\| < 2. $
Quindi nella corona esterna $ \|z\| > 2 $ si ha lo sviluppo di Laurent
$ f(z) = -sum_(n>=0) \frac {1}{z^(n+1)} + sum_(n>=0) \frac {2^n}{z^(n+1)} = sum_(n>=0) \frac {2^n - 1}{z^(n+1)}, per \|z\| > 2. $
Sembra una cosa meccanica ma non capisco come si fa a capire in quale cerchio valgono le funzioni e come si
trasformano di conseguenza.
Risposte
Non vedo nulla di esoterico.
Hai 2 serie geometriche. La prima è definita nel cerchio di raggio 1, la seconda nel cerchio di raggio 2.
Dov'è che sono definite (valgono) entrambe ?
Hai 2 serie geometriche. La prima è definita nel cerchio di raggio 1, la seconda nel cerchio di raggio 2.
Dov'è che sono definite (valgono) entrambe ?
Se la seconda serie geometrica è definita nel cerchio di raggio 2 allora è definita nel cerchio di raggio 1 no?
Se è così il primo passaggio è banale. Nella corona circolare 1 < |z| < 2 è definita solo la seconda serie geometrica infatti.
Questa cosa era banale, hai ragione. Una volta che dice che nella corona circolare è definita solo la seconda serie geometrica non capisco perché si tenta di trasformare in un'altra serie geometrica la prima serie geometrica xD. Si cerca di far valere anche quella nella corona circolare? Va beh. Per |z| > 2 è definita l'ultima serie geometrica trovata poiché se essa è definita per |z| > 1 allora lo sarà anche per |z| > 2 ma non è definita la seconda serie geometrica (che è definita per |z| < 2, ma a dire il vero nemmeno la prima ma non viene considerata), quindi anche qui.. trasforma la seconda serie geometrica e ne ottiene una che è definita sempre per |z| < 2 (????).
Se è così il primo passaggio è banale. Nella corona circolare 1 < |z| < 2 è definita solo la seconda serie geometrica infatti.
Questa cosa era banale, hai ragione. Una volta che dice che nella corona circolare è definita solo la seconda serie geometrica non capisco perché si tenta di trasformare in un'altra serie geometrica la prima serie geometrica xD. Si cerca di far valere anche quella nella corona circolare? Va beh. Per |z| > 2 è definita l'ultima serie geometrica trovata poiché se essa è definita per |z| > 1 allora lo sarà anche per |z| > 2 ma non è definita la seconda serie geometrica (che è definita per |z| < 2, ma a dire il vero nemmeno la prima ma non viene considerata), quindi anche qui.. trasforma la seconda serie geometrica e ne ottiene una che è definita sempre per |z| < 2 (????).
E' così.
Si ma nell'ultima trasformazione perché trasforma solo la seconda serie geometrica e non anche la prima?
Poi trasformando la seconda riottiene una serie geometrica definita per |z| < 2 come all'inizio.. quindi ovviamente
non definita per |z| > 2. Apparentemente non ha senso. Mi sfugge qualcosa oppure ho sbagliato a scrivere.
Poi trasformando la seconda riottiene una serie geometrica definita per |z| < 2 come all'inizio.. quindi ovviamente
non definita per |z| > 2. Apparentemente non ha senso. Mi sfugge qualcosa oppure ho sbagliato a scrivere.
"Drake_89":
Si ma nell'ultima trasformazione perché trasforma solo la seconda serie geometrica e non anche la prima?
Poi trasformando la seconda riottiene una serie geometrica definita per |z| < 2 come all'inizio.. quindi ovviamente
non definita per |z| > 2. Apparentemente non ha senso. Mi sfugge qualcosa oppure ho sbagliato a scrivere.
Quindi nella corona esterna $ \|z\| > 2 $ si ha lo sviluppo di Laurent
$ f(z) = -sum_(n>=0) \frac {1}{z^(n+1)} + sum_(n>=0) \frac {2^n}{z^(n+1)} = sum_(n>=0) \frac {2^n - 1}{z^(n+1)}, per \|z\| > 2. $
E' questa l'ultima trasformazione ? Questa converge per $|z|>2$.
No, mi riferisco a questa parte qui. Anche la prima volta la 2) era definita in $ \|z\| < 2 $
"Drake_89":
Nella corona esterna $ \|z\| > 2 $ vale 3) ed al posto di 2) scriviamo:
$ \frac {1}{z-2} = \frac {1}{z(1-\frac{2}{z})} = \frac {1}{z} sum_(n>=0) \frac {2^n}{z^n} = sum_(n>=0){2^n}{z^(n+1)},
per \frac {2}{\|z\|} < 1, i.e \|z\| < 2. $
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