Aiuto sull'uniforme continuità
In che modo si può risolvere, rigorosamente, questo problema:
Sia $f : \mathbb{R}_{+} \to \mathbb{R}$ uniformemnte continua.Provare che esiste $K>0$ tale che per ogni $x\in \mathbb{R}_{+},$
$ \Sup_{w>0}\{ |f(x+w) -f(w)|\}\le K ( x + 1)}.$
Sia $f : \mathbb{R}_{+} \to \mathbb{R}$ uniformemnte continua.Provare che esiste $K>0$ tale che per ogni $x\in \mathbb{R}_{+},$
$ \Sup_{w>0}\{ |f(x+w) -f(w)|\}\le K ( x + 1)}.$
Risposte
"Noisemaker":
Sia $f : \mathbb{R}_{+} \to \mathbb{R}$ uniformemente continua. Provare che esiste $K>0$ tale che per ogni $x\in \mathbb{R}_{+}$,
\[
\sup_{w>0} \{ |f(x+w) -f(w)|\} \le K ( x + 1)
\]
Questo l'ho già visto... Possibile che qualcuno l'abbia già postato sul forum giorni fa?
Fissato $\epsilon = 1$, per l'uniforme continuità esiste $\delta \in (0,1]$ tale che $|f(x)-f(y)| \le 1$ per ogni $x,y>0$, con $|x-y| \le \delta$.
Sia ora $x>0$, e sia $n\in\NN$ tale che $n\delta \le x < (n+1)\delta$.
Per ogni $w>0$ definiamo $w_i = w + i\delta$, $i=0,\ldots, n$, e $w_{n+1} = w+x$. Abbiamo che
\( |f(w+x) - f(w)| \leq \sum_{i=0}^{n} |f(w_{i+1}) - f(w_i)| \leq n+1 \leq \frac{x}{\delta} + 1 \leq K(x+1) \)
con $K= 1/\delta$.
Sia ora $x>0$, e sia $n\in\NN$ tale che $n\delta \le x < (n+1)\delta$.
Per ogni $w>0$ definiamo $w_i = w + i\delta$, $i=0,\ldots, n$, e $w_{n+1} = w+x$. Abbiamo che
\( |f(w+x) - f(w)| \leq \sum_{i=0}^{n} |f(w_{i+1}) - f(w_i)| \leq n+1 \leq \frac{x}{\delta} + 1 \leq K(x+1) \)
con $K= 1/\delta$.
"Rigel":
Fissato $\epsilon = 1$, per l'uniforme continuità esiste $\delta \in (0,1]$ tale che $|f(x)-f(y)| \le 1$ per ogni $x,y>0$, con $|x-y| \le \delta$.
mi chiarisci perchè $\delta \in (0,1]$? io in realtà so solo che esiste $\delta$ non che è $\delta \in (0,1]$
Non è restrittivo supporre che sia $\le 1$ (se la proprietà vale per $\delta >1$ vale anche per $\delta = 1$).
non ho capito:
noi fissiamo $\epsilon$ non $\delta$ : poiche $f$ è uniformente continua esisterà un $\delta$ tale che la distanza tra due elementi del dominio in valore assoluto non superi questo $\delta$ implichi che la distanza delle relative immagini dei due punti non superi il nostro $\epsilon$ , fissato in questo caso $=1$
noi fissiamo $\epsilon$ non $\delta$ : poiche $f$ è uniformente continua esisterà un $\delta$ tale che la distanza tra due elementi del dominio in valore assoluto non superi questo $\delta$ implichi che la distanza delle relative immagini dei due punti non superi il nostro $\epsilon$ , fissato in questo caso $=1$
La definizione di uniforme continuità è la seguente:
\[
\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta_\varepsilon >0:\quad \forall x,y\in ]0,\infty[,\ |x-y|\leq \delta_\varepsilon \ \Rightarrow \ |u(x)-u(y)|\leq \varepsilon
\]
Il "busillis" è nel fatto che la definizione di uniforme continuità ti assicura che il \(\delta_\varepsilon\) esiste, ma non ti dice affatto che esso è unico.
Infatti, immagina di prendere un qualsiasi \(\delta \in]0, \delta_\varepsilon]\): evidentemente si ha:
\[
|x-y|\leq \delta \ \Rightarrow \ |x-y|\leq \delta_\varepsilon \ \Rightarrow\ |u(x)-u(y)|\leq \varepsilon
\]
ergo ogni \(\delta\) tale che \(0<\delta \leq \delta_\varepsilon\) va bene per verificare l'uniforme continuità.
Quanto appena mostrato, oltre a dimostrare che l'unicità del \(\delta_\varepsilon\) è una chimera, fa vedere anche che, comunque si fissi un "valore soglia" \(d>0\), il numero:
\[
\delta := \min \{ d,\delta_\varepsilon\}
\]
è "buono" per la verifica dell'uniforme continuità (poiché esso è certamente un numero \(\in ]0,\delta_\varepsilon]\)) ed in particolare è un valore "buono" che sta nell'intervallo \(]0,d]\).
Righello ha scelto come "valore soglia" \(d=1\) e perciò ha preso \(\delta =\min \{ 1,\delta_\varepsilon\}\) che è certamente un numero \(\in ]0, 1]\).
\[
\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta_\varepsilon >0:\quad \forall x,y\in ]0,\infty[,\ |x-y|\leq \delta_\varepsilon \ \Rightarrow \ |u(x)-u(y)|\leq \varepsilon
\]
Il "busillis" è nel fatto che la definizione di uniforme continuità ti assicura che il \(\delta_\varepsilon\) esiste, ma non ti dice affatto che esso è unico.
Infatti, immagina di prendere un qualsiasi \(\delta \in]0, \delta_\varepsilon]\): evidentemente si ha:
\[
|x-y|\leq \delta \ \Rightarrow \ |x-y|\leq \delta_\varepsilon \ \Rightarrow\ |u(x)-u(y)|\leq \varepsilon
\]
ergo ogni \(\delta\) tale che \(0<\delta \leq \delta_\varepsilon\) va bene per verificare l'uniforme continuità.
Quanto appena mostrato, oltre a dimostrare che l'unicità del \(\delta_\varepsilon\) è una chimera, fa vedere anche che, comunque si fissi un "valore soglia" \(d>0\), il numero:
\[
\delta := \min \{ d,\delta_\varepsilon\}
\]
è "buono" per la verifica dell'uniforme continuità (poiché esso è certamente un numero \(\in ]0,\delta_\varepsilon]\)) ed in particolare è un valore "buono" che sta nell'intervallo \(]0,d]\).
Righello ha scelto come "valore soglia" \(d=1\) e perciò ha preso \(\delta =\min \{ 1,\delta_\varepsilon\}\) che è certamente un numero \(\in ]0, 1]\).
chiaro! grazie mille!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo