Aiuto sulle serie convergenti

[icaf]

E' possibile capire a colpo d'occhio se una serie converge?
Vi allego l'esercizio che dovrei risolvere in un quiz ma ho pochi minuti di tempo...
Come posso fare??
Con il criterio del rapporto ci impiego troppo tempo!
Grazie

[mc2]

Il metodo del rapporto e` il metodo piu` veloce!

Non devi sviluppare tutti i calcoli, ti basta guardare il termine di grado maggiore.

[icaf]

Ok!! Allora forse non mi è chiaro qualcosa...
Sarebbe possibile avere un esempio?

[mc2]

Ciao, in realta` la mia risposta non e` completa.

Il metodo del rapporto e` uno dei piu` veloci, ma in questo caso non e` di aiuto, infatti: posto

[math]A_N=\frac{n^a}{n^{10}+7n^3+5}[/math]

si tratta di calcolare il limite

[math]\lim_\limits{n\to\infty}\frac{A_{N+1}}{A_N}=[/math]

[math]=\lim_\limits{n\to\infty}\frac{(n+1)^a}{(n+1)^{10}+7(n+1)^3+5}\frac{n^{10}+7n^3+5}{n^a}=[/math]

non occorre sviluppare completamente i calcoli, basta tenere le potenze piu` grandi

[math]=\lim_\limits{n\to\infty}\frac{n^{10+a}+\cdots}{n^{10+a}+\cdots}=1[/math]

e quindi non si puo` concludere nulla...



Il criterio del confronto di infinitesimo e` un altro metodo molto rapido:

Se esiste un valore di

[math]\alpha[/math]

per cui

[math]\lim_\limits{n\to\infty}n^\alpha A_n[/math]

e` un numero finito, e inoltre

[math]\alpha > 1[/math]

, allora la serie data converge.


In questo caso:

[math]\lim_\limits{n\to\infty}\frac{n^\alpha n^a}{n^{10}+\cdots} [/math]

e perche' la serie converga occorre che

[math]\alpha+ a \le 10[/math]

[math]a \le 10-\alpha[/math]

e poiche'

[math]\alpha[/math]

deve essere > 1 si ha :
[math]a

[icaf]

Quindi se dovessi usare il confronto infinitesimale in altri esercizi posso prendo l'esponente di grado maggiore e faccio il calcolo??

[mc2]

in pratica e` cosi`.

[icaf]

in questo esempio l'esponente maggiore è 5 però poi?
Scusa... so che è semplice ma non riesco a capire al 100%

[mc2]

In questo esempio l'esponente maggiore e` 5 al numeratore e alpha al denominatore

Ragionando in modo intuitivo:
Se alpha=6 si ha una serie equivalente a quella di termine generico 1/n che diverge, quindi deve essere alpha > 6


Applicando il criterio del confronto di infinitesimo invece bisogna trovare un parametro k>1 (uso k perche' alpha e` gia` nel testo dell'esercizio) tale che

[math]\lim_\limits{n\to\infty}\frac{n^5}{n^\alpha+1} n^k[/math]

sia finito

quindi deve essere

[math]k+5-\alpha \le 0[/math]

cioe`

[math]\alpha \ge 5+k[/math]

e poiche` k e` strettamente > 1:

[math]\alpha > 6[/math]

[icaf]

Ok... lo stesso ragionamento si può applicare per capire la convergenza di un integrale improprio?

[mc2]

E` molto simile in effetti...

[icaf]

Ok... grazie mille!!