Aiuto sulla risoluzione di un limite.
il limite è:
$\lim_{x \to \ pi/4} (cos2x)/(pi/4 - x)
ho eseguito questo passaggio:
$\lim_{x \to \ pi/4} ((cosx)^2 - (sinx)^2) / (pi/4 - x)
l'ho risolto con de l'Hospital e ho visto che viene 2, però proseguendo senza l'uso del teorema di de l'Hospital mi sono bloccato.
Grazie per l'attenzione!
$\lim_{x \to \ pi/4} (cos2x)/(pi/4 - x)
ho eseguito questo passaggio:
$\lim_{x \to \ pi/4} ((cosx)^2 - (sinx)^2) / (pi/4 - x)
l'ho risolto con de l'Hospital e ho visto che viene 2, però proseguendo senza l'uso del teorema di de l'Hospital mi sono bloccato.
Grazie per l'attenzione!
Risposte
"attila0906":
il limite è:
$\lim_{x \to \ pi/4} (cos2x)/(pi/4 - x)
ho eseguito questo passaggio:
$\lim_{x \to \ pi/4} ((cosx)^2 - (sinx)^2) / (pi/4 - x)
l'ho risolto con de l'Hospital e ho visto che viene 2, però proseguendo senza l'uso del teorema di de l'Hospital mi sono bloccato.
Grazie per l'attenzione!
Io opererei la seguente sostituzione: $x-\pi/4=y$. la nuova espressione è $lim_(y->0)-(cos(2y+\pi/2))/(y)$. Da qui con un paio di passaggi si giunge alla soluzione. Fammi sapere se non ti esce !
Io opererei la seguente sostituzione: $x-\pi/4=y$. la nuova espressione è $lim_(y->0)-(cos(2y+\pi/2))/(y)$. Da qui con un paio di passaggi si giunge alla soluzione. Fammi sapere se non ti esce ![/quote]
la sostituzione che hai operato non tiene conto del passaggio che avevo effettuato io?
Comunque non riesco a risolverlo nemmeno cosi mi viene sempre f.i.
la sostituzione che hai operato non tiene conto del passaggio che avevo effettuato io?
Comunque non riesco a risolverlo nemmeno cosi mi viene sempre f.i.
Io ho provato a fare con Taylor.
sostituendo:
$cos2x=2-2x^2+(2/3)*x^4+o(2^5*x^5)$
$x=sinx+x^3/6-x^5/120$
mi viene un numero positivo come soluzione.
Non so se va bene il mio ragionamento.
sostituendo:
$cos2x=2-2x^2+(2/3)*x^4+o(2^5*x^5)$
$x=sinx+x^3/6-x^5/120$
mi viene un numero positivo come soluzione.
Non so se va bene il mio ragionamento.
Allora, io ho sostituito nella prima espressione del limite, quindi senza aver effettuato il tuo primo passaggio.
Una volta giunto a $lim_(y->0)-(cos(2y+\pi/2))/(y)$, sfrutto l'uguaglianza $cos(\theta+\pi/2)=-sin\theta $ per arrivare a $lim_(y->0)-(-sin(2y))/(y)=lim_(y->0)(2y)/(y)=2.$ Nell'ultimo passaggio ho utilizzato il fatto che la funzione $sinx$ è asintotica a $x$ in un intorno dello zero.
Una volta giunto a $lim_(y->0)-(cos(2y+\pi/2))/(y)$, sfrutto l'uguaglianza $cos(\theta+\pi/2)=-sin\theta $ per arrivare a $lim_(y->0)-(-sin(2y))/(y)=lim_(y->0)(2y)/(y)=2.$ Nell'ultimo passaggio ho utilizzato il fatto che la funzione $sinx$ è asintotica a $x$ in un intorno dello zero.
"Relegal":
Allora, io ho sostituito nella prima espressione del limite, quindi senza aver effettuato il tuo primo passaggio.
Una volta giunto a $lim_(y->0)-(cos(2y+\pi/2))/(y)$, sfrutto l'uguaglianza $cos(\theta+\pi/2)=-sin\theta $ per arrivare a $lim_(y->0)-(-sin(2y))/(y)=lim_(y->0)(2y)/(y)=2.$ Nell'ultimo passaggio ho utilizzato il fatto che la funzione $sinx$ è asintotica a $x$ in un intorno dello zero.
perfetto adesso mi è chiaro. Voglio chiederti una cosa soltanto:
- $cosx= sin(x - pi/2)
- $sinx= cos(x + pi/2)
Ti sei rifatto alla seconda di queste due formule, giusto?
grazie per avermi aiutato!
"attila0906":
[quote="Relegal"]Allora, io ho sostituito nella prima espressione del limite, quindi senza aver effettuato il tuo primo passaggio.
Una volta giunto a $lim_(y->0)-(cos(2y+\pi/2))/(y)$, sfrutto l'uguaglianza $cos(\theta+\pi/2)=-sin\theta $ per arrivare a $lim_(y->0)-(-sin(2y))/(y)=lim_(y->0)(2y)/(y)=2.$ Nell'ultimo passaggio ho utilizzato il fatto che la funzione $sinx$ è asintotica a $x$ in un intorno dello zero.
perfetto adesso mi è chiaro. Voglio chiederti una cosa soltanto:
- $cosx= sin(x - pi/2)
- $sinx= cos(x + pi/2)
Ti sei rifatto alla seconda di queste due formule, giusto?
grazie per avermi aiutato![/quote]
Figurati !
La formula che ho usato è, come ho scritto sopra, $cos(x+\pi/2)=-sinx$. Occhio ai segni !
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