Aiuto sul teorema "di limitatezza locale"
Salve,
Sto studiando il capitolo sui limiti e mi si è presentato davanti il teorema di limitatezza locale che parla della limitatezza di una funzione.
Il problema è che.. semplicemente, non riesco a capire cosa diavolo voglia dimostrarmi sto teorema qui. Cioè, mi dice che se esiste un limite = l, allora esiste un intorno di x0, tale che f è limitata in dom f intersezione intorno x0. Eh e quindi? Dove vuole arrivare? Non lo capisco proprio.
Grazie in anticipo, spero vivamente possiate chiarirmi il dubbio.
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Sto studiando il capitolo sui limiti e mi si è presentato davanti il teorema di limitatezza locale che parla della limitatezza di una funzione.
Il problema è che.. semplicemente, non riesco a capire cosa diavolo voglia dimostrarmi sto teorema qui. Cioè, mi dice che se esiste un limite = l, allora esiste un intorno di x0, tale che f è limitata in dom f intersezione intorno x0. Eh e quindi? Dove vuole arrivare? Non lo capisco proprio.
Grazie in anticipo, spero vivamente possiate chiarirmi il dubbio.
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Risposte
Significa, perdonami il gioco di parole, che man mano che ti avvicini sei sempre più vicino 
. Detto meglio, la f che ammetta limite finito non può essere illimitata (quindi andare ad infinito da qualche parte) e poi ricadere improvvisamente sul limite, ma dovrà avvicinarsi gradualmente ad esso, e quindi, a patto di fare sufficiente "zoom", la funzione che vedrai sarà limitata, tutto qui. Adesso non ricordo se si richieda che la f sia anche continua, ma direi di sì 
. Detto meglio, la f che ammetta limite finito non può essere illimitata (quindi andare ad infinito da qualche parte) e poi ricadere improvvisamente sul limite, ma dovrà avvicinarsi gradualmente ad esso, e quindi, a patto di fare sufficiente "zoom", la funzione che vedrai sarà limitata, tutto qui. Adesso non ricordo se si richieda che la f sia anche continua, ma direi di sì
In poche parole, se la funzione ammette un limite finito, allora essa è limitata (perché giustamente come dici tu, se ammette limite, può mai andare ad infinito??) e sarà sempre inclusa |f(x)|
Dovrebbe essere tutto corretto [SEE-NO-EVIL MONKEY]
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Dovrebbe essere tutto corretto [SEE-NO-EVIL MONKEY]
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Si si certo, se ammette limite allora è limitata, almeno abbastanza vicino all'intorno, ma il viceversa non è affatto vero, basta vedere $lim_{n->+infty} sin(n)$ come controesempio
Perfetto, grazie mille.. gentilissimo! 
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"IlPolloDiGödel":
Adesso non ricordo se si richieda che la f sia anche continua, ma direi di sì
Non occorre. Ti serve che $f$ sia continua se vuoi il teorema di Heine-Borel, che ti dice che le funzioni continue definite sugli insiemi compatti sono limitate, che è una versione globale del teorema di limitatezza locale.
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