Aiuto sul calcolo di un limite
Salve a tutti,
da poco ho cominciato a studiare i limiti e, tra i diversi esercizi, ho provato a svolgere il seguente:
[tex]\underset{x\rightarrow\infty}{\lim}\sqrt[3]{x^{6}-x^{4}}-x^{2}[/tex]
Verificando il risultato con Maxima ho notato che, a differenza di quanto avevo calcolato, il limite di questa funzione è [tex]-1/3[/tex]. Ho provato a calcolare questo limite in modo diretto, ma non sono riuscito ad ottenere il risultato corretto.
Ho provato a risolvere il problema in modo inverso, conoscendo già il risultato, verificando innanzitutto che
[tex]\underset{x\rightarrow\infty}{\lim}\frac{\sqrt[3]{x^{6}-x^{4}}}{x^{2}}=1[/tex]
Le funzioni [tex]\sqrt[3]{x^{6}-x^{4}}[/tex] e [tex]x^{2}[/tex] hanno stesso ordine di grandezza.
Ho, inoltre, applicato il criterio del confronto utilizzando il seguente limite:
[tex]\underset{x\rightarrow\infty}{\lim}\sqrt[3]{x^{6}-x^{4}+\frac{x^{2}}{3}-\frac{1}{27}}-x^{2}=\underset{x\rightarrow\infty}{\lim}\sqrt[3]{\left(x^{2}-\frac{1}{3}\right)^{3}}-x^{2}=\underset{x\rightarrow\infty}{\lim}x^{2}-\frac{1}{3}-x^{2}=-\frac{1}{3}[/tex].
Essendo [tex]\sqrt[3]{x^{6}-x^{4}+\frac{x^{2}}{3}-\frac{1}{27}}-x^{2}>\sqrt[3]{x^{6}-x^{4}}-x^{2}[/tex] il limite della funzione oggetto dell'esercizio deve essere minore o uguale a [tex]-1/3[/tex].
Credo che, a questo punto sarebbe utile dimostrare che:
[tex]\underset{x\rightarrow\infty}{\lim}\sqrt[3]{x^{6}-x^{4}}-x^{2}=\underset{x\rightarrow\infty}{\lim}x^{2}-\frac{1}{3}-x^{2}[/tex] ma non conosco un metodo che mi conduca direttamente a questo risultato.
Se non avessi avuto un software come Maxima che mi indicasse il risultato corretto, quale sarebbe stato il metodo corretto da impiegare per risolvere questo limite?
Grazie in anticipo per qualunque suggerimento.
Saluti.
da poco ho cominciato a studiare i limiti e, tra i diversi esercizi, ho provato a svolgere il seguente:
[tex]\underset{x\rightarrow\infty}{\lim}\sqrt[3]{x^{6}-x^{4}}-x^{2}[/tex]
Verificando il risultato con Maxima ho notato che, a differenza di quanto avevo calcolato, il limite di questa funzione è [tex]-1/3[/tex]. Ho provato a calcolare questo limite in modo diretto, ma non sono riuscito ad ottenere il risultato corretto.
Ho provato a risolvere il problema in modo inverso, conoscendo già il risultato, verificando innanzitutto che
[tex]\underset{x\rightarrow\infty}{\lim}\frac{\sqrt[3]{x^{6}-x^{4}}}{x^{2}}=1[/tex]
Le funzioni [tex]\sqrt[3]{x^{6}-x^{4}}[/tex] e [tex]x^{2}[/tex] hanno stesso ordine di grandezza.
Ho, inoltre, applicato il criterio del confronto utilizzando il seguente limite:
[tex]\underset{x\rightarrow\infty}{\lim}\sqrt[3]{x^{6}-x^{4}+\frac{x^{2}}{3}-\frac{1}{27}}-x^{2}=\underset{x\rightarrow\infty}{\lim}\sqrt[3]{\left(x^{2}-\frac{1}{3}\right)^{3}}-x^{2}=\underset{x\rightarrow\infty}{\lim}x^{2}-\frac{1}{3}-x^{2}=-\frac{1}{3}[/tex].
Essendo [tex]\sqrt[3]{x^{6}-x^{4}+\frac{x^{2}}{3}-\frac{1}{27}}-x^{2}>\sqrt[3]{x^{6}-x^{4}}-x^{2}[/tex] il limite della funzione oggetto dell'esercizio deve essere minore o uguale a [tex]-1/3[/tex].
Credo che, a questo punto sarebbe utile dimostrare che:
[tex]\underset{x\rightarrow\infty}{\lim}\sqrt[3]{x^{6}-x^{4}}-x^{2}=\underset{x\rightarrow\infty}{\lim}x^{2}-\frac{1}{3}-x^{2}[/tex] ma non conosco un metodo che mi conduca direttamente a questo risultato.
Se non avessi avuto un software come Maxima che mi indicasse il risultato corretto, quale sarebbe stato il metodo corretto da impiegare per risolvere questo limite?
Grazie in anticipo per qualunque suggerimento.
Saluti.
Risposte
Direi che il modo più veloce è quello di utilizzare il seguente limite notevole:
[tex]\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{(1+x)^a-1}{x}=a[/tex]
[tex]\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{(1+x)^a-1}{x}=a[/tex]
Grazie per il suggerimento. Ho provato ad effettuare la sostituzione [tex]y=1/x^2[/tex] per ricondurmi ad un caso simile ottenendo i seguenti risultati:
[tex]\underset{y\rightarrow0}{\lim}\sqrt[3]{\frac{1}{y^{3}}-\frac{1}{y^{2}}}-\frac{1}{y}=\underset{y\rightarrow0}{\lim}\sqrt[3]{\frac{y^{2}-y^{3}}{y^{6}}}-\frac{1}{y}=\underset{y\rightarrow0}{\lim}\frac{\sqrt[3]{\frac{y^{2}-y^{3}}{y^{3}}}-1}{y}=\underset{y\rightarrow0}{\lim}\frac{\left(\frac{y^{3}}{y^{2}-y^{3}}\right)^{-1/3}-1}{y}=\underset{y\rightarrow0}{\lim}\frac{\left(1+\frac{2y^{3}-y^{2}}{y^{2}-y^{3}}\right)^{-1/3}-1}{y}[/tex].
Tuttavia ho riscontrato che, per [tex]y\rightarrow0[/tex], il termine [tex]\left(1+\frac{2y^{3}-y^{2}}{y^{2}-y^{3}}\right)^{-1/3}[/tex] differisce molto dal termine [tex]\left(1+y\right)^{(-1/3)}[/tex](da cui avrei ricavato come limite l'esponente [tex]-1/3[/tex]). Ho forse sbagliato qualche passaggio?
[tex]\underset{y\rightarrow0}{\lim}\sqrt[3]{\frac{1}{y^{3}}-\frac{1}{y^{2}}}-\frac{1}{y}=\underset{y\rightarrow0}{\lim}\sqrt[3]{\frac{y^{2}-y^{3}}{y^{6}}}-\frac{1}{y}=\underset{y\rightarrow0}{\lim}\frac{\sqrt[3]{\frac{y^{2}-y^{3}}{y^{3}}}-1}{y}=\underset{y\rightarrow0}{\lim}\frac{\left(\frac{y^{3}}{y^{2}-y^{3}}\right)^{-1/3}-1}{y}=\underset{y\rightarrow0}{\lim}\frac{\left(1+\frac{2y^{3}-y^{2}}{y^{2}-y^{3}}\right)^{-1/3}-1}{y}[/tex].
Tuttavia ho riscontrato che, per [tex]y\rightarrow0[/tex], il termine [tex]\left(1+\frac{2y^{3}-y^{2}}{y^{2}-y^{3}}\right)^{-1/3}[/tex] differisce molto dal termine [tex]\left(1+y\right)^{(-1/3)}[/tex](da cui avrei ricavato come limite l'esponente [tex]-1/3[/tex]). Ho forse sbagliato qualche passaggio?
"LeoM":
Grazie per il suggerimento. Ho provato ad effettuare la sostituzione [tex]y=1/x^2[/tex] per ricondurmi ad un caso simile ottenendo i seguenti risultati:
[tex]\underset{y\rightarrow0}{\lim}\sqrt[3]{\frac{1}{y^{3}}-\frac{1}{y^{2}}}-\frac{1}{y}=\underset{y\rightarrow0}{\lim}\sqrt[3]{\frac{y^{2}-y^{3}}{y^{6}}}-\frac{1}{y}=\underset{y\rightarrow0}{\lim}\frac{\sqrt[3]{\frac{y^{2}-y^{3}}{y^{3}}}-1}{y}=\underset{y\rightarrow0}{\lim}\frac{\left(\frac{y^{3}}{y^{2}-y^{3}}\right)^{-1/3}-1}{y}=\underset{y\rightarrow0}{\lim}\frac{\left(1+\frac{2y^{3}-y^{2}}{y^{2}-y^{3}}\right)^{-1/3}-1}{y}[/tex]
Il primo passaggio è sbagliato.
[tex]\underset{y\rightarrow0}{\lim}\sqrt[3]{\frac{1}{y^{3}}-\frac{1}{y^{2}}}-\frac{1}{y}=\underset{y\rightarrow0}{\lim}\sqrt[3]{\frac{y^{3}-y^{4}}{y^{6}}}-\frac{1}{y}[/tex]
Continua tu. Inoltre ti ricordo che in generale
[tex]\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{(1+f(x))^a-1}{f(x)}=a[/tex]
purchè [tex]\displaystyle\lim_{x\to0}f(x)=0[/tex]
Ho commesso un grave errore nel primo radicale. A questo punto posso scrivere:
[tex]\underset{y\rightarrow0}{\lim}\sqrt[3]{\frac{1}{y^{3}}-\frac{1}{y^{2}}}-\frac{1}{y}=\underset{y\rightarrow0}{\lim}\sqrt[3]{\frac{1-y}{y^{3}}}-\frac{1}{y}=\underset{y\rightarrow0}{\lim}\frac{\sqrt[3]{1-y}-1}{y}=\underset{y\rightarrow0}{\lim}\frac{\left(1-y\right)^{1/3}-1}{y}[/tex].
Effettuo un'ulteriore sostituzione [tex]z=-y[/tex] da cui ottengo:
[tex]\underset{z\rightarrow0}{\lim}-\frac{\left(1+z\right)^{1/3}-1}{z}=-\frac{1}{3}[/tex].
Grazie ancora per i suggerimenti.
[tex]\underset{y\rightarrow0}{\lim}\sqrt[3]{\frac{1}{y^{3}}-\frac{1}{y^{2}}}-\frac{1}{y}=\underset{y\rightarrow0}{\lim}\sqrt[3]{\frac{1-y}{y^{3}}}-\frac{1}{y}=\underset{y\rightarrow0}{\lim}\frac{\sqrt[3]{1-y}-1}{y}=\underset{y\rightarrow0}{\lim}\frac{\left(1-y\right)^{1/3}-1}{y}[/tex].
Effettuo un'ulteriore sostituzione [tex]z=-y[/tex] da cui ottengo:
[tex]\underset{z\rightarrow0}{\lim}-\frac{\left(1+z\right)^{1/3}-1}{z}=-\frac{1}{3}[/tex].
Grazie ancora per i suggerimenti.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo