Aiuto: successione ricorsiva con funzione integrale
Chiedo aiuto su come risolvere il seguente esercizio:
so risolvere le successioni ricorsive classiche (punti fissi etc,) ma la funzione integrale mi rende tutto poco chiaro
determinare il seguente limite:
[tex]\lim_{n\rightarrow\infty} a_{n}[/tex] dove [tex]a_{1}=2[/tex], [tex]a_{n+1}=\int_0^{a_{n}} \sin^{2} \frac{1}{t}\ \text{d}t[/tex] per [tex]n\in \mathbb{N}[/tex]
grazie
so risolvere le successioni ricorsive classiche (punti fissi etc,) ma la funzione integrale mi rende tutto poco chiaro
determinare il seguente limite:
[tex]\lim_{n\rightarrow\infty} a_{n}[/tex] dove [tex]a_{1}=2[/tex], [tex]a_{n+1}=\int_0^{a_{n}} \sin^{2} \frac{1}{t}\ \text{d}t[/tex] per [tex]n\in \mathbb{N}[/tex]
grazie
Risposte
scusate, nessuna sa svolgere questo esercizio (me compreso)?????
Per induzione si vede che [tex]$a_n>0$[/tex].
Visto che [tex]0\leq \sin^2\frac{1}{t}\leq 1[/tex], si ha [tex]\int_0^x \sin^2 \frac{1}{t}\ \text{d} t \leq x[/tex], sicché [tex]$a_{n+1}\leq a_n$[/tex]; conseguentemente [tex]$(a_n)$[/tex] è regolare ed il suo limite [tex]$l$[/tex] è [tex]$\geq 0$[/tex].
D'altra parte [tex]$l$[/tex] deve essere un punto fisso per la funzione integrale [tex]F(x):=\int_0^x \sin^2 \frac{1}{t}\ \text{d} t[/tex]; tale funzione è strettamente crescente, quindi se ha un punto fisso esso è unico; visto che [tex]$F(0)=0$[/tex], l'unico punto fisso di [tex]$F(x)$[/tex] è [tex]$0$[/tex]; di conseguenza [tex]$l=0$[/tex].
Esercizio risolto.
Non ci voleva così tanto.
P.S.: Per chi se lo stesse chiedendo, si ha:
[tex]$F(x):=\int_0^x \sin^2 \tfrac{1}{t}\ \text{d} t \stackrel{\tau =\frac{1}{t}}{=} \int_{\frac{1}{x}}^{+\infty} \frac{\sin^2 \tau}{\tau^2}\ \text{d} \tau$[/tex],
quindi:
[tex]$0\leq F(x)\leq \int_{\frac{1}{x}}^{+\infty} \frac{1}{\tau^2}\ \text{d} \tau =x$[/tex]
e perciò [tex]$\lim_{x\to 0^+} F(x)=0$[/tex], quindi [tex]$F(x)$[/tex] si può prolungare su [tex]$0$[/tex] da destra con continuità.
Visto che [tex]0\leq \sin^2\frac{1}{t}\leq 1[/tex], si ha [tex]\int_0^x \sin^2 \frac{1}{t}\ \text{d} t \leq x[/tex], sicché [tex]$a_{n+1}\leq a_n$[/tex]; conseguentemente [tex]$(a_n)$[/tex] è regolare ed il suo limite [tex]$l$[/tex] è [tex]$\geq 0$[/tex].
D'altra parte [tex]$l$[/tex] deve essere un punto fisso per la funzione integrale [tex]F(x):=\int_0^x \sin^2 \frac{1}{t}\ \text{d} t[/tex]; tale funzione è strettamente crescente, quindi se ha un punto fisso esso è unico; visto che [tex]$F(0)=0$[/tex], l'unico punto fisso di [tex]$F(x)$[/tex] è [tex]$0$[/tex]; di conseguenza [tex]$l=0$[/tex].
Esercizio risolto.
Non ci voleva così tanto.
P.S.: Per chi se lo stesse chiedendo, si ha:
[tex]$F(x):=\int_0^x \sin^2 \tfrac{1}{t}\ \text{d} t \stackrel{\tau =\frac{1}{t}}{=} \int_{\frac{1}{x}}^{+\infty} \frac{\sin^2 \tau}{\tau^2}\ \text{d} \tau$[/tex],
quindi:
[tex]$0\leq F(x)\leq \int_{\frac{1}{x}}^{+\infty} \frac{1}{\tau^2}\ \text{d} \tau =x$[/tex]
e perciò [tex]$\lim_{x\to 0^+} F(x)=0$[/tex], quindi [tex]$F(x)$[/tex] si può prolungare su [tex]$0$[/tex] da destra con continuità.
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