Aiuto su un limite

[_andrea_13]

Scusate la domanda sicuramente banale,

Qual'è il metodo per risolvere

Limite con x --> 0+ di x ^ arcsin((x-1)/(x+1))

Non ho potuto frequentare i corsi ed un ragazzo mi ha prestato il quaderno.
Lui l'ha risolto semplificando in: Limite con x--> 0+ di e^ arcsin((x-1)/(x+1))*logx


Qualcuno sa dirmi qual'è la formula generica di questo procedimento?
Grazie in anticipo per tutte le risposte

[_Tipper]

Per risolvere un limite della forma $f(x)^{g(x)}$ la strada più comune è quella di osservare che $f(x)^{g(x)} = e^{g(x) \ln(f(x))}$, proprio come ha fatto il tuo amico, e considerare solo l'esponente, da che l'esponenziale è una funzione continua nel suo dominio.

[_andrea_13]

e quindi nel caso specifico: logx (con x= numero piccolissimo perchè x-->0+) tende ad infinito che moltiplicato ad un numero (il risultato di arcsin((x-1)/(x+1)))
risulta infinito. Un esponente infinito fa risultare il limite infinito. E' questo il ragionamento?
Perchè non +Infinito?

Scusa ancora le domande sciocche!

[_Tipper]

Per $x \to 0^+$ risulta $\log(x) \to -\infty$, e $"arcsin"(\frac{x-1}{x+1}) \to -\frac{\pi}{2}$, quindi l'esponente tende a $+\infty$, di conseguenza anche il limite tende a $+\infty$, perché $\lim_{u \to +\infty} e^u = +\infty$.

[_andrea_13]

Grazie mille della pazienza e della precisione della spiegazione! Buona serata