Aiuto su un limite
Ciao a tutti,non riesco a capire perchè questo limite viene -inf
lim x->+inf $(4x-(e^x)+4)$
Visto che viene una forma indeterminata,mettendo in evidenza 4x mi trovo che viene + inf ..Dove sbaglio?
lim x->+inf $(4x-(e^x)+4)$
Visto che viene una forma indeterminata,mettendo in evidenza 4x mi trovo che viene + inf ..Dove sbaglio?
Risposte
È una questione di ordine di infinito. L'esponenziale è un infinito di ordine superiore rispetto a qualsiasi polinomio. Il raccoglimento va fatto così:
\[ 4 x - e^x +4 = e^x \left (-1 + \frac{4x}{e^x} + \frac{4}{e^x} \right ) \]
La dimostrazione che
$$\forall \beta \in \mathbb{R}, \ \lim_{x \to +\infty}{\frac{ x^\beta}{e^x}= 0 } $$
è classica. Per $\beta <= 0$ non ci sono forme indeterminate. Per $\beta > 0$, se vuoi avere una dimostrazione poco elegante ma che funziona, basta usare De l'Hopital. Usandolo $k$ volte, dove $k$ è il più piccolo intero maggiore o uguale a $\beta$, il numeratore diventa una costante, mentre il denominatore rimane invariato. Dunque, la forma indeterminata sparisce ed il limite fa $0$. Nel dettaglio:
$$ k = \lceil \beta \rceil, \ \lim_{x \to + \infty} {\frac{x^{\beta}}{e^x}} = \lim_{x \to + \infty}{\frac{x^{k}}{e^x} \cdot \frac{1}{x^{k - \beta}} } = \lim_{x \to + \infty}{ \frac{1}{x^{k - \beta}} } \cdot \lim_{x \to + \infty}{\frac{x^{k}}{e^x}} =$$$$ =\lim_{x \to + \infty}{ \frac{1}{x^{k - \beta}} } \cdot \lim_{x \to + \infty}{\frac{k!}{e^x}} = 0 \cdot 0 = 0 $$
\[ 4 x - e^x +4 = e^x \left (-1 + \frac{4x}{e^x} + \frac{4}{e^x} \right ) \]
La dimostrazione che
$$\forall \beta \in \mathbb{R}, \ \lim_{x \to +\infty}{\frac{ x^\beta}{e^x}= 0 } $$
è classica. Per $\beta <= 0$ non ci sono forme indeterminate. Per $\beta > 0$, se vuoi avere una dimostrazione poco elegante ma che funziona, basta usare De l'Hopital. Usandolo $k$ volte, dove $k$ è il più piccolo intero maggiore o uguale a $\beta$, il numeratore diventa una costante, mentre il denominatore rimane invariato. Dunque, la forma indeterminata sparisce ed il limite fa $0$. Nel dettaglio:
$$ k = \lceil \beta \rceil, \ \lim_{x \to + \infty} {\frac{x^{\beta}}{e^x}} = \lim_{x \to + \infty}{\frac{x^{k}}{e^x} \cdot \frac{1}{x^{k - \beta}} } = \lim_{x \to + \infty}{ \frac{1}{x^{k - \beta}} } \cdot \lim_{x \to + \infty}{\frac{x^{k}}{e^x}} =$$$$ =\lim_{x \to + \infty}{ \frac{1}{x^{k - \beta}} } \cdot \lim_{x \to + \infty}{\frac{k!}{e^x}} = 0 \cdot 0 = 0 $$
"Mettendo in evidenza \(4x\)" cosa viene?
"seb":
"Mettendo in evidenza \(4x\)" cosa viene?
Prova a verificarlo tu stesso, non è difficile...
"darakum":
mettendo in evidenza 4x mi trovo che viene + inf
Intendevo che non fa \(+\infty\)
"seb":
[quote="darakum"]mettendo in evidenza 4x mi trovo che viene + inf
Intendevo che non fa \(+\infty\)[/quote]
Ah... scusa! Non mi sono accorto che non sei l'autore del topic
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