Aiuto su un integrale indefinito

[Ginus82]

Salve,
non riesco proprio a trovarmi col risultato di questo banale integrale

$int sqrt(2x+5)$.

Secondo i miei calcoli il risultato è $frac2 3 *sqrt((2x+5)^3)$ mentre per il prof è $frac1 3 *sqrt((2x+5)^3)$.

Il risultato corretto è il secondo ma non riesco a capire perchè.

Io procedo trasformando $sqrt(2x+5)$ in $(2x+5)^frac1 2$ e poi applico la regola $int x^a = frac(x^(a+1)) (a+1)$.

Dove sbaglio?

[Camillo]

Credo tu dimentichi che la funzione sotto radice è una funzione composta e la derivata di $2x+5 $ è 2.
Quindi devi tenerne conto...

[Ginus82]

"Camillo":Credo tu dimentichi che la funzione sotto radice è una funzione composta e la derivata di $2x+5 $ è 2.
Quindi devi tenerne conto...

Mi sto perdendo un pò .
Sono d'accordo col fatto della funzione composta, ma non capisco perchè la debba derivare...

[baldo891]

$\1/2int 2(2x+5)^(1/2) dx=1/2 (2x+5)^(3/2)/3/2$

[baldo891]

scusa non é alla fine diviso 2 ma per 2

[Steven11]

"Ginus82":
Mi sto perdendo un pò .
Sono d'accordo col fatto della funzione composta, ma non capisco perchè la debba derivare...

La formula che hai postato tu è giusta (a parte che manca $dx$ al primo membro e $+c$ al secondo).

Ma non è questo il caso nostro, infatti non stiamo integrando $x^(alpha)$ ma $f(x)^(alpha)$

E non è vero che $\intf(x)^(alpha)"d"x=(f(x)^(alpha+1))/(alpha+1)+k$, bensì la giusta relazione è

$\intf'(x)*f(x)^(alpha)"d"x=(f(x)^(alpha+1))/(alpha+1)+k$

Ora non hai nella traccia l'espressione di $f'(x)$, ma siccome, come Camillo ti fece notare, è una costante 2, puoi metterla andando a dividere fuori dall'integrale.

Ciao.

[dissonance]

"Steven":[...] come Camillo ti fece notare [...]

Anche io tendo ad usare sempre il passato remoto, anche per eventi risalenti a pochi minuti prima (o come nel caso di Steven a due ore prima ). E' pure capitato che parlando con gente del Nord me lo abbiano fatto notare. Quindi caro Steven sei proprio un terrone

[Camillo]

Ginus 82 : hai avuto parecchie risposte e ormai ti dovrebbe essere chiaro dove hai sbagliato.
La tua soluzione sarebbe stata giusta se la funzione da integrare fosse stata ad es. $sqrt(x+5) $ .

Ho parlato di derivata (non per conforderti le idee) ma per farti notare che derivando la "tua " primitiva cioè $2/3sqrt((2x+5)^3)$ ottieni $2/3sqrt((2x+5)*)3/2*2 =2*sqrt(2x+5)$ che non è la funzione integranda.
Va sistemato appunto quel fattore $2$

[Camillo]

OT
In effetti al Nord il passato remoto non lo usiamo mai, neanche quando ci vorrebbe...

[elgiovo]

"Camillo":OT
In effetti al Nord il passato remoto non lo usiamo mai, neanche quando ci vorrebbe...

OT

Gli unici ad usarlo in modo corretto siamo noi del centro insomma

[Ginus82]

Ok, ho capito l'errore ma non trovo su nessun testo la formula o la regola per giungere a tale risultato.

[Steven11]

La regola si ricava semplicemente così come segue.
Siccome si ha

$"D"f(x)^(a+1)=(a+1)*f'(x)*f(x)^(a)$ dove con $D$ intendo la derivata

allora integrando ambo i membri (passando cioè alle primitive)

$\int"D"f(x)^(a+1)dx=\int(a+1)*f'(x)*f(x)^(a)dx$ ovvero, tenendo anche conto che la costante $a+1$ possiamo tirarla fuori da dove ci pare

$f(x)^(a+1)/(a+1)+c=\intf'(x)*f(x)^(a)dx$

Se non ti torna qualche passaggio dimmelo.
Ciao