Aiuto su un integrale generalizzato

[mirko.saggioro]

Qualcuno potrebbe aiutarmi a risolvere questo esercizio?
Determinare per quali a appartenenti ad R esiste finito:
$ int_1^oo (|cos((2-a)x)+3|/(3^(ax)+1)) $
Calcolare l'integrale per a=2.
Se riuscite anche con la spiegazione dei passaggi, grazie in anticipo.

[feddy]

Ciao,

è sufficiente notare che il coseno è una funzione limitata e che $cos((2-a)x)<=1 forallx in [1,+infty)$.

Dunque $ int_(1)^(+infty) |cos((2-a)x) +3|/(3^{ax} +1) dx <= int_(1)^(+infty) 4/(3^{ax}+1) dx $

L'ultimo integrale è possibile calcolarlo tramite la sostituzione $3^{ax}=t$ ,e, una volta passato al limite, discuti il valore del limite al variare del parametro $a$.

Per $a=2$ l'integrale lo dovesti calcolare con la stessa tecnica suggerita alla riga sopra

Ciao saggio

[mirko.saggioro]

ciao frenulac un giorno vengo a trovarti in uni

[Erasmus_First]

"ilsaggio":
$«$Determinare per quali $a$ appartenenti ad $RR$ esiste finito:
$ int_1^oo (|cos((2-a)x)+3|/(3^(ax)+1))dx $

Calcolare l'integrale per $a=2»$

Il numeratore oscilla tra 2 e 4.
[Il segno di "modulo" ... è solo fumo!]
Perciò, se il denominatore non diverge per $x →∞$, l'integrale non converge.
Affinché il denominatore diverga occorre e basta che sia $a > 0$.
Per $a = 2$ il numeratore è 4 e il denominatore diventa:
$3^(2x) + 1 = 3^(2x) + 1 = e^(2xln(3)) + 1$.
Per comodità di scrittura metto $k=ln(3)$. Allora ho anche:
$4/(e^(2kx)+1)dx = 4e^(-kx)/(e^(kx)+e^(-kx))dx= 2(cosh(kx)-sinh(kx))/cosh(kx)dx = 2(1 - 1/k (k·sinh(kx))/cosh(kx))dx$.
Una primitiva di questa funzione è $F(x,k) = 2x - 2/k ln(cosh(kx))$; e per $k=ln(3)$:
$F[x. ln(3)] = 2x - 2/ln(3) ln(cosh(xln(3)))$.
Risulta $F(0,ln(3)) = 0$ e, per per $x →∞$, $F(x,ln(3))$ tende a $2ln(2)/ln(3)$. Pertanto:
$∫_0^∞ 4/(3^(2x)+1)dx = 2ln(2)/ln(3)$

_______