Aiuto su un esercizio di una serie numerica

[ABB13]

Buongiorno a tutti
vorrei chiedere un aiuto per quanto riguarda un esercizio, come appunto già scritto nel titolo, di una serie numerica.
L'esercizio è il seguente:

$ sum_(n = 1\)^(oo)(1+n)/(n^2log(n)) $

Dato che a colpo d'occhio mi sembrava una serie armonica modificata ho "scomposto" la serie numerica in questo modo:

$ sum_(n = 1\)^(oo)(1)/(n^2log(n)) + sum_(n = 1\)^(oo)(1)/(nlog(n)) $

Controllando il carattere di entrambe le serie, ma il risultato è stato che il primo è convergente mentre il 2° no

Successivamente ho provato con il confronto (come suggerisce wolframalpha) e penso di aver trovato "bn" che è uguale a:

$ 1/n $

I ragionamenti sono giusti? o ho sbagliato qualcosa? Scusate ma le serie numeriche sono un po ostiche per me >.<
Grazie per ogni piccolo aiuto

[Zero93]

Ciao! Cerco di darti il mio parere sullo svolgimento dell'esercizio:
Innanzitutto osserviamo che la serie è a termini positivi e che il termine generale tende a 0, quindi la serie potrebbe convergere.
Applicando il criterio del confronto asintotico tuttavia ottieni che la serie in questione ha lo stesso carattere della serie $ sum(1/(n*ln(n))) $ , che diverge per il criterio di condensazione di Cauchy; dunque la serie di partenza diverge positivamente.

[ABB13]

Grazie per la risposta