Aiuto su topologia della retta

[ballerina85]

ciao a tutti,sto facendo un ripasso per l'esame e non posso andare a ricevimento perche sono fuori sede,volevo sapere se considerate l'esercizio svolto in maniera opportuna o se lo fareste eventualmente in un altro modo,ringrazio a chiunque possa rispondere

sia l'insieme $ A={n in NN: 2^n>n^2-1}uu{x in QQ :root(3)(x) per deternimare la prima parte dell'ìinsieme uso l'induzione,per $ 2^n>n^2-1 $ ho come base induttiva che è verificato per $ n=1,2,4 $ e dimostro che vale per ogni $ n>3 $
essendo verificata per $ n=4 $ la assumo vera per $ n $ e la provo per $ n+1 $ :
$ 2^(n+1)>(n+1)^2-1$
$2^(n+1)=2*2^n>2*(n^2-1)$
$2n^2-2>(n+1)^2-1->2n^2-2>n^2+2n->n^2>2n+2$ che è certamente vera per ogni $ n>3 $

la seconda parte dell'insieme è $ root(3)(x)x^3-x>0-> -11 $

Allora posso riscrivere l'insieme in questo modo: A= $ A={NN-{3}}uu{QQ nn{(-1,0)uu(1,+oo)}} $ e quindi ottengo:
infA= $ -1 $ e supA=$+oo$; A non ha massimo,ne minimo
il derivato di A è $ [-1,0]uu[1,+oo] $ (l'insieme dei punti di accumulazione)
la frontiera di A coincide con A,essendo al più numeri razionali
quindi l'interno di A è l'insieme vuoto
A non è chiuso perche non contiene il suo derivato e non è aperto perche non costituito da soli punti interni(anzi non ne ha)

mi domando se ho sbagliato qualcosa ho sia stata una scelta quellla di voler rendere la prima parte dell'insieme irrilevante

[j18eos]

Allora tale insieme non è aperto perché nessun punto è un punto interno (rispetto alla topologia naturale di [tex]\mathbb{R}[/tex]) essendo di soli numeri razionali, l'interno è [tex]\emptyset[/tex] di conseguenza.

Risulta un sottoinsieme proprio del suo derivato (che concordo con te) per cui non è chiuso!

Come frontiera mi trovo [tex]\{0;1;3\}[/tex] essendo essa l'intersezione tra la chiusura di [tex]A[/tex] e di [tex]\mathbb{R}-A[/tex] (i conti li ho fatti a mente per cui sono da controllare).

Gli estremi vabbé sono banali!

[ballerina85]

"j18eos":
Come frontiera mi trovo [tex]\{0;1;3\}[/tex] essendo essa l'intersezione tra la chiusura di [tex]A[/tex] e di [tex]\mathbb{R}-A[/tex] (i conti li ho fatti a mente per cui sono da controllare).

avrei qualche qualche dubbio sulla frontiera,la chiusura di A sarebbe $Auu[-1,0]uu[1,+oo]$,ovvero l'insieme col derivato.Poi si potrebbe verificare dicendo anche solo che $QQ$ è denso in $RR$,percui non capisco come puo essere (0,1,3)

In genere penso che l'insieme possa assumere un senso diverso se si considera $NN$ con $n=0,1,2,3....$
aggiungendo lo zero infatti cambierebbe il minimo che sarebbe -1,e a quel punto si spiegherebbe credo tale unione,che in questo modo mi risulta indifferente,scegliendo appunto $NN$ senza lo zero

[Izzy412]

non vorrei dire cretinate, ma mi pare che l'insieme $ { NN - { 3 } } $ viene in parte incluso nel secondo insieme e aggiunge l'1. nell'insieme $ QQ $ sono presenti anche i numeri naturali no?
quindi l'insieme dovrebbe venire del tipo $ QQnn {(-1,0)uu(1, +oo ) } + {1} $