Aiuto su teorema di Dini
Salve ragazzi c'è qualcuno che molto gentilmente mi chiarisce le idee su questo teorema?
Io l'ho capito così, praticamente data una $ f(x,y) $ di classe C1 ,se $EE $ un P=(Xo.Yo) tale che:
$f(P)=0 $ e $f'y(P)!=0$ allora esiste in un opportuno intorno di P, una funzione g(x) tale che $f(x,g(x))=0$.
Dimostrazione:
Supponendo che la derivata parziale y in P sia maggiore di zero allora $EE$ un Intorno rettangolare R=$ [x0-a,x0+a]X[y0-b,y0+b] $ tale che la f'y(x,y)>0 con x,y presi nell'intorno R precedente.
Fino a qui tutto ok,semplice applicazione del teorema del segno essendo f di classe C1.
Ora : Pensando alla f nella sola Y. f(xo,y) questa sarà sicuramente crescente in un intorno y0-z,y0+z con $z<=b$ ed in più sappiamo che in x0,y0 la f si annulla ,quindi sarà $f(xo,y0-z)<0$ e $ f(x0,y0+z)>0 $, arrivato qui ,il libro mi dice che essendo la due funzioni precedenti continue e per la permanenza del segno allora esiste un intorno di x0 tale che vale ancora la relazione precedente.
Fino a qui è giusto? Qualcuno può davvero gentilmente farmi un attimo un esempio più pratico in modo da avere veramente chiara la situazione?
Ringrazio vivamente tutti coloro avranno voglia di perdere un pò di tempo.
Io l'ho capito così, praticamente data una $ f(x,y) $ di classe C1 ,se $EE $ un P=(Xo.Yo) tale che:
$f(P)=0 $ e $f'y(P)!=0$ allora esiste in un opportuno intorno di P, una funzione g(x) tale che $f(x,g(x))=0$.
Dimostrazione:
Supponendo che la derivata parziale y in P sia maggiore di zero allora $EE$ un Intorno rettangolare R=$ [x0-a,x0+a]X[y0-b,y0+b] $ tale che la f'y(x,y)>0 con x,y presi nell'intorno R precedente.
Fino a qui tutto ok,semplice applicazione del teorema del segno essendo f di classe C1.
Ora : Pensando alla f nella sola Y. f(xo,y) questa sarà sicuramente crescente in un intorno y0-z,y0+z con $z<=b$ ed in più sappiamo che in x0,y0 la f si annulla ,quindi sarà $f(xo,y0-z)<0$ e $ f(x0,y0+z)>0 $, arrivato qui ,il libro mi dice che essendo la due funzioni precedenti continue e per la permanenza del segno allora esiste un intorno di x0 tale che vale ancora la relazione precedente.
Fino a qui è giusto? Qualcuno può davvero gentilmente farmi un attimo un esempio più pratico in modo da avere veramente chiara la situazione?
Ringrazio vivamente tutti coloro avranno voglia di perdere un pò di tempo.
Risposte
Mi sa che troverai l'esempio orribilmente semplice, ma tieni presente che il teorema di Dini rientra nell'ampia classe di risultati i quali dicono: "quello che vale per la approssimazione lineare di una funzione, vale localmente per la funzione stessa".
$f(x,y)= x + 3y - 4$
E prendi come punto $(1,1)$.
$f(x,y)= x + 3y - 4$
E prendi come punto $(1,1)$.
Inanzitutto grazie per la risposta.
La funzione suggeritami da te si anulla nel punto datomi da te .
Ma avrei un'altra domanda.
La funzione è sempre esplicitabile per ogni punto che soddisfa la relazione $y=(-x+4)/3 $ ?O meglio in ogni intorno che soddisfa la relazione ?
Comunque tornando alla dimostrazione postata da me.
Quando arrivo alla parte che dice che $ f(x_0,y_0 -z)<0 $ e $f(x_0,y_0 +z) >0$ ,usando il tuo esempio significa che :
$f(1,1-z) <0 $ cioè prendendo per esempio z=0.1 la funzione vale: $1+3*0.9-4$ che è effettivamente minore di zero.
Mentre $f(1,1+z)$ risulta maggiore di zero.
Questa relazione dovrebbe valere anche per $AA $ x1 appartenente ad un intorno I $ x0-q,x0+q $ con $ q<=a $,infatti se io pongo la x appartenente a questo nuovo intorno riesco sempre a trovare una y (o meglio il teorema dice che esiste) tale che poi la funzione globale si annulla.
Questa parte che è la meno chiara per me significa forse che essendo $f(x1,y)$ una funzione continua che varia da <0 a >0 per il teorema degli zeri esiste sicuramente un punto in cui si annulla che poi è unico poichè è strettamente monotona (non importa se crescente o decrescente)
Di consequenza è dimostrato che variando la x in I allora esiste una y tale che $ f(x,y)=0$,cioè in altre parole esiste una funzione $y=g(x) $ tale che $f(x,g(x)=0$.
Scusate la confusione
La funzione suggeritami da te si anulla nel punto datomi da te .
Ma avrei un'altra domanda.
La funzione è sempre esplicitabile per ogni punto che soddisfa la relazione $y=(-x+4)/3 $ ?O meglio in ogni intorno che soddisfa la relazione ?
Comunque tornando alla dimostrazione postata da me.
Quando arrivo alla parte che dice che $ f(x_0,y_0 -z)<0 $ e $f(x_0,y_0 +z) >0$ ,usando il tuo esempio significa che :
$f(1,1-z) <0 $ cioè prendendo per esempio z=0.1 la funzione vale: $1+3*0.9-4$ che è effettivamente minore di zero.
Mentre $f(1,1+z)$ risulta maggiore di zero.
Questa relazione dovrebbe valere anche per $AA $ x1 appartenente ad un intorno I $ x0-q,x0+q $ con $ q<=a $,infatti se io pongo la x appartenente a questo nuovo intorno riesco sempre a trovare una y (o meglio il teorema dice che esiste) tale che poi la funzione globale si annulla.
Questa parte che è la meno chiara per me significa forse che essendo $f(x1,y)$ una funzione continua che varia da <0 a >0 per il teorema degli zeri esiste sicuramente un punto in cui si annulla che poi è unico poichè è strettamente monotona (non importa se crescente o decrescente)
Di consequenza è dimostrato che variando la x in I allora esiste una y tale che $ f(x,y)=0$,cioè in altre parole esiste una funzione $y=g(x) $ tale che $f(x,g(x)=0$.
Scusate la confusione
"edge":Sì, certo. Questo è dovuto al fatto che la funzione $f$ è "incredibilmente semplice". La condizione $x+3y-4=0$ definisce implicitamente $y$ in funzione di $x$ "dappertutto".
Ma avrei un'altra domanda.
La funzione è sempre esplicitabile per ogni punto che soddisfa la relazione $y=(-x+4)/3 $ ?O meglio in ogni intorno che soddisfa la relazione ?
"edge":Esatto. Ti sei fatto un disegnino? Puoi anche vederlo "fisicamente" usando un foglio come grafico di $f$.
Comunque tornando alla dimostrazione postata da me.
Quando arrivo alla parte che dice che $ f(x_0,y_0 -z)<0 $ e $f(x_0,y_0 +z) >0$ ,usando il tuo esempio significa che :
$f(1,1-z) <0 $ cioè prendendo per esempio z=0.1 la funzione vale: $1+3*0.9-4$ che è effettivamente minore di zero.
Mentre $f(1,1+z)$ risulta maggiore di zero.
"edge":Certo, ti prendi un intorno piccolino... Ovviamente questo fatto è conseguenza del teorema di permanenza del segno.
Questa relazione dovrebbe valere anche per $AA $ x1 appartenente ad un intorno I $ x0-q,x0+q $ con $ q<=a $
"edge":
infatti se io pongo la x appartenente a questo nuovo intorno riesco sempre a trovare una y (o meglio il teorema dice che esiste) tale che poi la funzione globale si annulla.
Questa parte che è la meno chiara per me significa forse che essendo $f(x1,y)$ una funzione continua che varia da <0 a >0 per il teorema degli zeri esiste sicuramente un punto in cui si annulla che poi è unico poichè è strettamente monotona (non importa se crescente o decrescente)
Esatto, proprio così.
"edge":OK
Di consequenza è dimostrato che variando la x in I allora esiste una y tale che $ f(x,y)=0$,cioè in altre parole esiste una funzione $y=g(x) $ tale che $f(x,g(x)=0$.
"edge":Mah, non mi sembra che ci sia confuzione "concettuale". Semmai, metterei in evidenza un uso poco accurato delle notazioni. Tutto sommato tollerabile in un post dentro a un forum, ma meno in uno scritto d'esame, o alla lavagna
Scusate la confusione
Esatto. Ti sei fatto un disegnino? Puoi anche vederlo "fisicamente" usando un foglio come grafico di f.
Essendo ad analisi 1 comunque abituato a vedere funzioni del tipo $y=f(x)$; Avendo io questa volta una $f(x,y)$ se io sostituisco alla x =xo ,mi viene $f(x0,y)=3y-3$ ma questa funzione come la devo vedere ,mi spiego meglio per farmi un disegnino della funzione ottenuta e vedere che per un ' opportuna costantina positiva,mettiamo $k$ ,la nuova f sia crescente e valga il discorso di prima,come disegno $3y-3$.Spero di essere stato chiaro.
???
Se "fai" il teorema di Dini ''devi'' aver "fatto" prima le funzioni di più variabili!
Sul libro di testo (o qualunque cosa sia) e anche in rete trovi un sacco di indicazioni su come si disegna il grafico di una funzione di più variabili.
Se "fai" il teorema di Dini ''devi'' aver "fatto" prima le funzioni di più variabili!
Sul libro di testo (o qualunque cosa sia) e anche in rete trovi un sacco di indicazioni su come si disegna il grafico di una funzione di più variabili.
Il problema è che devo dare un integrazione di analisi 2.
L'altra parte l'ho fatto due anni fa e non mi ricordo molto.
Comunque ho dato una veloce ripassata e ho visto che una generica f(x,y) non è altro che una superficie 3D.
L'altra parte l'ho fatto due anni fa e non mi ricordo molto.
Comunque ho dato una veloce ripassata e ho visto che una generica f(x,y) non è altro che una superficie 3D.
"edge":Il grafico di una funzione di due variabili è una superficie in 3D.
Comunque ho dato una veloce ripassata e ho visto che una generica f(x,y) non è altro che una superficie 3D.
Nel caso della funzione che ti ho proposto, il suo grafico è un piano, che "taglia" il piano di quota zero secondo la retta $x+3y=4$. Questa equazione è quella che descrive implicitamente funzione (della variabile $x$) he avevi già individuato: $\phi(x) = \frac{4-x}{3}$.
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