Aiuto su studio di funzione.

[Draven98]

Buongiorno a tutti , riporto qui la seguente funzione :

$ f(x)= e^x+ln(4e^-x - 1) $

Calcolo il dominio e trovo

$ Df: (-oo ,ln4) $

Non ho problemi con le simmetrie , ma faccio particolare difficoltà con l'intersezione degli assi e con lo studio del segno...
In particolare ho problemi con l'intersezione sull'asse delle x , ovvero per f(x)=0.
Come posso risolvere l'equazione

$ e^x+ln(4e^-x - 1)=0 $ ??
Qualcuno può spiegarmi come agire in queste situazioni ?
Grazie mille in anticipo , Luca.

[anonymous_0b37e9]

Si possono avere delle preziose informazioni calcolando preliminarmente i limiti e studiando il segno della derivata:

Funzione

$f(x)=e^x+ln(4e^(-x)-1)$

Dominio

$[4e^(-x)-1 gt 0] rarr [e^(-x) gt 1/4] rarr [e^x lt 4] rarr [x lt ln4]$

Simmetria

Dominio non simmetrico $rarr$ nessuna simmetria

Limiti

$lim_(x->-oo)[e^x+ln(4e^(-x)-1)]=+oo$

$lim_(x->ln4^-)[e^x+ln(4e^(-x)-1)]=-oo$

Derivata

$(df)/(dx)(x)=e^x-(4e^(-x))/(4e^(-x)-1)=(4-e^x-4e^(-x))/(4e^(-x)-1)=(e^-x(e^(2x)-4e^x+4))/(1-4e^(-x))=(e^-x(e^x-2)^2)/(1-4e^(-x))$

$[x lt ln4] rarr [(df)/(dx)(x) lt 0] rarr [f(x)$ decrescente$]$

Intersezioni con gli assi

$[lim_(x->-oo)f(x)=+oo] ^^ [lim_(x->ln4^-)f(x)=-oo] ^^ [f(x)$ continua e decrescente$] rarr$

$rarr [EE barx$ unico $: f(barx)=0] ^^ [ln(4e^(-barx)-1)=-e^barx lt 0] rarr$

$rarr [0 lt 4e^(-barx)-1 lt 1] rarr [1 lt 4e^(-barx) lt 2] rarr [1/4 lt e^(-barx) lt 1/2] rarr [2 lt e^barx lt 4] rarr [ln2 lt barx lt ln4]$

Asse x

$[x=barx] ^^ [y=0] ^^ [ln2 lt barx lt ln4]$

Asse y

$[x=0] ^^ [y=1+ln3]$

[dissonance]

Non ho letto il post di S.E. ma vorrei sottolineare che qui le cose si semplificano parecchio con il cambio di variabile
\[
y=e^x.\]

[anonymous_0b37e9]

"dissonance":
... le cose si semplificano parecchio con il cambio di variabile ...

Ciao dissonance. Qualcosa mi dice che assuma una certa rilevanza il fatto che $e^x$ sia sempre crescente.

[Draven98]

Grazie mille , tutto molto chiaro ... ma riguardo l'intersezioni con gli assi , non riesco ugualmente a capire come fare per arrivare a quel valore di x ( compreso tra ln2 e ln4) .
Buona giornata , Luca.

[anonymous_0b37e9]

Si tratta di una generalizzazione del teorema degli zeri:

al caso in cui:

$f : ]-oo,b[ rarr RR$

sia strettamente crescente oppure strettamente decrescente. Quest'ultima ipotesi assicura che la soluzione sia unica.