Aiuto su semplice integrale indefinito
$\int x^2/(x^4-1)dx$
Procedo immediatamente alla decomposizione in frazioni semplici.
$x^2/(x^4-1) = A/(x+1) + B/(x-1) + C/(x^2+1) + (Dx)/(x^2+1) = $
$ A(x^3-x^2+x-1)+B(x^3+x^2+x+1)+C(x^2-1)+D(x^3-x) = x^2$
Il mio sistema sotto forma matriciale sarà:
\( \begin{matrix} 1&1&0&1\\ -1&1&1&0 \\ 1&1&0&-1 \\ -1&1&-1&0 \end{matrix} \begin{vmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\0 \end{vmatrix} \)
Dopo l'eliminazione di Gauss mi ritrovo:
\( \begin{matrix} 1&1&0&1\\0&2&1&1\\0&0&-2&0\\0&0&0&-2 \end{matrix} \begin{vmatrix} 0\\1\\0\\0 \end{vmatrix} \)
Però mi escono sia $C$ che $D$ uguali a zero. Dove sbaglio??
Grazie e buona giornata
Procedo immediatamente alla decomposizione in frazioni semplici.
$x^2/(x^4-1) = A/(x+1) + B/(x-1) + C/(x^2+1) + (Dx)/(x^2+1) = $
$ A(x^3-x^2+x-1)+B(x^3+x^2+x+1)+C(x^2-1)+D(x^3-x) = x^2$
Il mio sistema sotto forma matriciale sarà:
\( \begin{matrix} 1&1&0&1\\ -1&1&1&0 \\ 1&1&0&-1 \\ -1&1&-1&0 \end{matrix} \begin{vmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\0 \end{vmatrix} \)
Dopo l'eliminazione di Gauss mi ritrovo:
\( \begin{matrix} 1&1&0&1\\0&2&1&1\\0&0&-2&0\\0&0&0&-2 \end{matrix} \begin{vmatrix} 0\\1\\0\\0 \end{vmatrix} \)
Però mi escono sia $C$ che $D$ uguali a zero. Dove sbaglio??
Grazie e buona giornata
Risposte
secondo me ti stai complicando inutilmente l'esistenza...
$x^2/(x^4-1)=1/(2(x^2-1))+1/(2(x^2+1))$
(l'ho scomposto a mente...senza usare alcuna regola matematica)
ora dovrebbe essere fatto, ti basta scomporre ulteriormente il primo termine (anche questo si fa semplicemente a colpo d'occhio, senza troppi calcoli) ed hai finito....
$x^2/(x^4-1)=1/(2(x^2-1))+1/(2(x^2+1))$
(l'ho scomposto a mente...senza usare alcuna regola matematica)
ora dovrebbe essere fatto, ti basta scomporre ulteriormente il primo termine (anche questo si fa semplicemente a colpo d'occhio, senza troppi calcoli) ed hai finito....
Avrai fatto un errore di calcolo perché a me vengono $A= -1/4$, $B= 1/4$, $C= 1/2$ e $D=0$.
Quando sei davanti a questa equazione $A(x^3-x^2+x-1)+B(x^3+x^2+x+1)+C(x^2-1)+D(x^3-x) = x^2$ siccome devi applicare il principio di identità dei polinomi, che non c'entra più con le frazioni algebriche che avevi sopra, puoi anche sostituire alla $x$ dei valori opportuni, che ti permettano di calcolare agevolmente $A, B, C, D$. Ad esempio ponendo $x=1$ ricavi immediatamente $B$, ponendo $x= -1$ ricavi $A$, una volta noti $A$ e $B$, gli altri due parametri si calcolano in un attimo.
Quando sei davanti a questa equazione $A(x^3-x^2+x-1)+B(x^3+x^2+x+1)+C(x^2-1)+D(x^3-x) = x^2$ siccome devi applicare il principio di identità dei polinomi, che non c'entra più con le frazioni algebriche che avevi sopra, puoi anche sostituire alla $x$ dei valori opportuni, che ti permettano di calcolare agevolmente $A, B, C, D$. Ad esempio ponendo $x=1$ ricavi immediatamente $B$, ponendo $x= -1$ ricavi $A$, una volta noti $A$ e $B$, gli altri due parametri si calcolano in un attimo.
"tommik":
secondo me ti stai complicando inutilmente l'esistenza...
(l'ho scomposto a mente...senza usare alcuna regola matematica)
Il tuo colpo d'occhio e intuito sono insuperabili. L'hai elaborata in un nanosecondo.
Quali passaggi mentali ti hanno ricondotto a quella scomposizione??
"@melia":
Avrai fatto un errore di calcolo perché a me vengono $A= -1/4$, $B= 1/4$, $C= 1/2$ e $D=0$.
Grazie infatti conviene così.
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