Aiuto su problemi di Cauchy
Su questo argomento ho studiato da autodidatta,non potendo seguire alcune lezioni,ho alcuni esercizi dove non ho proprio l'idea di come si risolvono,quelli piu complicati naturalmente,e non so a chi chiedere,ad esempio:
$ { ( y'=(-sin3x)y+xe^(cos3x)/3 ),( y(0)=2e ):} $
$ { ( y'=(1/cos^2x)y+e^(x+tanx) ),( y(0)=0 ):} $
so che dobbiamo integrare la derivata prima e poi soddisfare le condizioni iniziali,ma come vanno risolte equazioni del genere?
Grazie in anticipo
$ { ( y'=(-sin3x)y+xe^(cos3x)/3 ),( y(0)=2e ):} $
$ { ( y'=(1/cos^2x)y+e^(x+tanx) ),( y(0)=0 ):} $
so che dobbiamo integrare la derivata prima e poi soddisfare le condizioni iniziali,ma come vanno risolte equazioni del genere?
Grazie in anticipo
Risposte
Ciao! In entrambi i casi, si tratta di equazioni differenziali lineari. Su ogni libro di testo decente di analisi dovrebbe esserci la teoria generale per risolverle.
Ho provato a risolvere il primo,ho visto che in esiste una soluzione generale:
$ y=e^(A(x)) int e^-(A(x)) b(x)dx $
vediamo qual è a(x) e b(x),a(x)=-sin3x e b(x)= $ xe^(cos(3x)/3 $
integriamo a(x)=1/3 cos 3x
quindi:
$ y=e^-((1/3)cos3x) int e^-((1/3)cos3x) xe^(cos(3x)/3 $
sempre se è giusto,ora bisogna risolvere l'integrale?
$ y=e^(A(x)) int e^-(A(x)) b(x)dx $
vediamo qual è a(x) e b(x),a(x)=-sin3x e b(x)= $ xe^(cos(3x)/3 $
integriamo a(x)=1/3 cos 3x
quindi:
$ y=e^-((1/3)cos3x) int e^-((1/3)cos3x) xe^(cos(3x)/3 $
sempre se è giusto,ora bisogna risolvere l'integrale?
Non proprio: in questa formula
il segno meno all'esponente dell'esponenziale fuori dall'integrale dovrebbe essere un segno più, e dovresti aggiungere una costante $c$ di integrazione nell'integrale visto che stai usando gli integrali indefiniti; in ogni caso, quando risolvi un problema di Cauchy (come nel tuo caso) la procedura corretta è, nella formula di $y(x)$ che ho quotato, integrare nell'intervallo $[x_0,x]$ con $x_0$ condizione iniziale (nel tuo caso è $x_0=0$).
Certo, se è possibile (di solito lo è, in questi esercizi). Altrimenti lo si lascia così e la soluzione è espressa anche tramite funzioni integrali.
"yayalo17":
$ y=e^-((1/3)cos3x) int e^-((1/3)cos3x) xe^(cos(3x)/3 $
il segno meno all'esponente dell'esponenziale fuori dall'integrale dovrebbe essere un segno più, e dovresti aggiungere una costante $c$ di integrazione nell'integrale visto che stai usando gli integrali indefiniti; in ogni caso, quando risolvi un problema di Cauchy (come nel tuo caso) la procedura corretta è, nella formula di $y(x)$ che ho quotato, integrare nell'intervallo $[x_0,x]$ con $x_0$ condizione iniziale (nel tuo caso è $x_0=0$).
"yayalo17":
ora bisogna risolvere l'integrale?
Certo, se è possibile (di solito lo è, in questi esercizi). Altrimenti lo si lascia così e la soluzione è espressa anche tramite funzioni integrali.
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