Aiuto su problema di funzioni implicite
Ciao a tutti ho qualche problema con la risoluzione del seguente esercizio d'esame:
(a) verificare che l'equazione $x^4+2x^2y^2+4y^2-y^4=6$ definisce una curva in $RR^2$ regolare e semplice
(b) dopo aver verificato che il punto $(1,1)$ appartiene a C, si calcoli il relativo vettore tangente
(c) Determinare i punti di C che ammettono distanza massima dall'origine
(a) posto $f(x,y)=x^4+2x^2y^2+4y^2-y^4$ l'insieme $A={(x,y) in RR^2: f(x,y)=6}$ consiste di soli punti regolari perchè $nablaf(x,y)=(4x^3+4xy^2,4x^2y+8y-4y^3)=(0,0)
se $(x,y)=(0,0),(0,+-sqrt2) !in A$. Quindi la curva è regolare. La semplicità mi sembra garantita localmente dal teorema delle funzioni implicite... ma globalmente?
(b) $(1,1) in A$ ed essendo la retta tangente alla curva $f_x(1,1)(x-1)+f_y(1,1)(y-1)=0=>8(x-1)+8(y-1)=0=>y=2-x$ il vettore tangente dovrebbe essere $T=(t,-t), t in RR
(c) qualcuno mi può dare un suggerimento su come si fa??
(a) verificare che l'equazione $x^4+2x^2y^2+4y^2-y^4=6$ definisce una curva in $RR^2$ regolare e semplice
(b) dopo aver verificato che il punto $(1,1)$ appartiene a C, si calcoli il relativo vettore tangente
(c) Determinare i punti di C che ammettono distanza massima dall'origine
(a) posto $f(x,y)=x^4+2x^2y^2+4y^2-y^4$ l'insieme $A={(x,y) in RR^2: f(x,y)=6}$ consiste di soli punti regolari perchè $nablaf(x,y)=(4x^3+4xy^2,4x^2y+8y-4y^3)=(0,0)
se $(x,y)=(0,0),(0,+-sqrt2) !in A$. Quindi la curva è regolare. La semplicità mi sembra garantita localmente dal teorema delle funzioni implicite... ma globalmente?
(b) $(1,1) in A$ ed essendo la retta tangente alla curva $f_x(1,1)(x-1)+f_y(1,1)(y-1)=0=>8(x-1)+8(y-1)=0=>y=2-x$ il vettore tangente dovrebbe essere $T=(t,-t), t in RR
(c) qualcuno mi può dare un suggerimento su come si fa??
Risposte
aiutatemi! tra poco ho l'orale e non so cosa raccontargli!!
Il punto (c) si dovrebbe poter fare usando il teorema dei moltiplicatori di Lagrange.
Infatti si tratta di trovare il massimo della funzione $d(x,y)=x^2+y^2$ ristretta a $C$ e per il suddetto teorema
il punto di massimo deve verificare $\nabla d=\lambda\nabla f$ per un opportuno $\lambda$ reale.
Questo mi pare porti alle due equazioni $4x^3+4xy^2=2\lambda x$ e $-4y^3+4x^2y+8y=2\lambda y$
(piu' l'equazione del vincolo). Risolvendo mi pare venga
(A) $(x,y)=(0,0)$ oppure
(B) $(x,y)=(0,\pm\sqrt{\frac{4-\lambda}{2}})$ (con $\lambda\leq 4$) oppure
(C) $(x,y)=(\pm\sqrt{\lambda/2} ,0)$ (con $\lambda \geq0$ ) o infine
(D) $(x,y)=(\pm\sqrt{\frac{\lambda-2}{2}},\pm 1)$ (con ($\lambda\geq 2$).
(sperando di non aver sbagliato i calcoli)
Il caso (A) si scarta in quanto $(0,0)\notin C$
Il caso (B) ti da' che la componente $y$ deve verificare $4y^2-y^4=6$
Il caso (C) ti da' $x=\pm\root{4}(6)$
Il caso (D) ti da' che la componente $x$ deve verificare $x^4+2x^2+4-1=6$
Alla fine ti trovi con un numero finito di punti tra i quali scegli quello che ha massima distanza dall'origine.
Ho fatto i conti "in diretta" e non so se ci sono errori - puo' anche darsi che ci sia qualche modo di semplificare il discorso, ma vistoche la
richiesta era urgente ...
Infatti si tratta di trovare il massimo della funzione $d(x,y)=x^2+y^2$ ristretta a $C$ e per il suddetto teorema
il punto di massimo deve verificare $\nabla d=\lambda\nabla f$ per un opportuno $\lambda$ reale.
Questo mi pare porti alle due equazioni $4x^3+4xy^2=2\lambda x$ e $-4y^3+4x^2y+8y=2\lambda y$
(piu' l'equazione del vincolo). Risolvendo mi pare venga
(A) $(x,y)=(0,0)$ oppure
(B) $(x,y)=(0,\pm\sqrt{\frac{4-\lambda}{2}})$ (con $\lambda\leq 4$) oppure
(C) $(x,y)=(\pm\sqrt{\lambda/2} ,0)$ (con $\lambda \geq0$ ) o infine
(D) $(x,y)=(\pm\sqrt{\frac{\lambda-2}{2}},\pm 1)$ (con ($\lambda\geq 2$).
(sperando di non aver sbagliato i calcoli)
Il caso (A) si scarta in quanto $(0,0)\notin C$
Il caso (B) ti da' che la componente $y$ deve verificare $4y^2-y^4=6$
Il caso (C) ti da' $x=\pm\root{4}(6)$
Il caso (D) ti da' che la componente $x$ deve verificare $x^4+2x^2+4-1=6$
Alla fine ti trovi con un numero finito di punti tra i quali scegli quello che ha massima distanza dall'origine.
Ho fatto i conti "in diretta" e non so se ci sono errori - puo' anche darsi che ci sia qualche modo di semplificare il discorso, ma vistoche la
richiesta era urgente ...
ho capito, controllando con derive è anche tutto corretto, però non riesco a capire perchè come distanza si prende la funzione $x^2+y^2$ e non la solita $sqrt(x^2+y^2)$???
"NOKKIAN80":
ho capito, controllando con derive è anche tutto corretto, però non riesco a capire perchè come distanza si prende la funzione $x^2+y^2$ e non la solita $sqrt(x^2+y^2)$???
perche' massimizzare la distanza o la distanza o la distanza al quadrato e' lo stesso!! (il quadrato e' crescente sui positivi) e le derivate della distanza al quadrato sono
piu' semplici
Comunque se vuoi fare i conti con la distanza i calcoli sono simili, solo che il gradiente risultera' moltiplicato per $1/d$.
GRAZIEEEE!!
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