Aiuto su problema di Cauchy
salve ragazzi... ho questo problema di Cauchy
$\{((dC)/dt=2*(30-C)), (C(0)=10):}$
allora...mi hanno spiegato che devo separare le due variabili e integrarle
se non sbaglio dovrebbe venire
$\int dt=int (1)/(2*(30-C))dC$
solo che dopo non so come procedere! potete aiutarmi??
grazie mille!!
$\{((dC)/dt=2*(30-C)), (C(0)=10):}$
allora...mi hanno spiegato che devo separare le due variabili e integrarle
se non sbaglio dovrebbe venire
$\int dt=int (1)/(2*(30-C))dC$
solo che dopo non so come procedere! potete aiutarmi??
grazie mille!!
Risposte
Bentrovato/a!
ora risolvi gli integrali:
$t = -1/2ln(30-C)+k_0$
$C = 30 - e^(2*(k_0-t))$
che con il punto iniziale $C(0)=10$:
$k_0=1/2*ln(20)$
Ti torna?
ora risolvi gli integrali:
$t = -1/2ln(30-C)+k_0$
$C = 30 - e^(2*(k_0-t))$
che con il punto iniziale $C(0)=10$:
$k_0=1/2*ln(20)$
Ti torna?
scusami non ho capito molto bene.. innanzitutto come hai trovato C...anche il mio prof fa così ma a me sembra che manchi un passaggio...non riesco bene a capire il meccanismo... e poi come risultato mi dovrebbe venire una funzione C(t) di cui posso calcolare il limite per t tendente a + infinito...
scusa l'ignoranza ma su queste cose non ce la posso fare!!
comunque grazie mille!!!
scusa l'ignoranza ma su queste cose non ce la posso fare!!
comunque grazie mille!!!
se parti dagli integrali che hai scritto tu
$\int dt = 1/2 \int (dC)/(30 - C)$
li risolvi e ottieni
$t + c_1 = 1/2 * (- ln(30 - C))$
dove $c_1$ è la costante arbitraria da determinare con le condizioni iniziali.
Esplicitando l'ultima per C avrai
$ ln(30 - C) = - 2 (t + c_1) $
cioè
$ 30 - C = e^(- 2 (t + c_1) )$
e infine
$C = 30 - e^(- 2 (t + c_1) ) = 30 - e^(- 2 c_1 ) * e^(- 2 t )$
siccome $c_1$ è una costante arbitraria posso porre $e^(- 2 c_1 ) = c_2$ senza perdere nulla. Allora ricapitolando siamo arrivati a
$C(t) = 30 - c_2 * e^(- 2 t )$
ora imponendo che $C(0) = 10$ troviamo $c_2$, cioè
$C(0) = 30 - c_2 = 10$ e cioè $c_2 = 20$
quindi la soluzione del problema di Cauchy è
$C(t) = 30 - 20 e^(- 2 t )$
E' più chiaro così?
$\int dt = 1/2 \int (dC)/(30 - C)$
li risolvi e ottieni
$t + c_1 = 1/2 * (- ln(30 - C))$
dove $c_1$ è la costante arbitraria da determinare con le condizioni iniziali.
Esplicitando l'ultima per C avrai
$ ln(30 - C) = - 2 (t + c_1) $
cioè
$ 30 - C = e^(- 2 (t + c_1) )$
e infine
$C = 30 - e^(- 2 (t + c_1) ) = 30 - e^(- 2 c_1 ) * e^(- 2 t )$
siccome $c_1$ è una costante arbitraria posso porre $e^(- 2 c_1 ) = c_2$ senza perdere nulla. Allora ricapitolando siamo arrivati a
$C(t) = 30 - c_2 * e^(- 2 t )$
ora imponendo che $C(0) = 10$ troviamo $c_2$, cioè
$C(0) = 30 - c_2 = 10$ e cioè $c_2 = 20$
quindi la soluzione del problema di Cauchy è
$C(t) = 30 - 20 e^(- 2 t )$
E' più chiaro così?
Se vuoi, puoi anche dare un'occhiata qui:
http://www.diptem.unige.it/patrone/equa ... _intro.htm
in particolare, questo link che trovi nella pagina citata: Equazioni Differenziali: intro
http://www.diptem.unige.it/patrone/equa ... _intro.htm
in particolare, questo link che trovi nella pagina citata: Equazioni Differenziali: intro
Voglio segnalarti il procedimento formalmente più corretto (per farmi bello agli occhi del cattivissimo, una volta tanto! 
).
Innanzitutto nota che il tuo problema, per il teorema di esistenza ed unicità in grande, ha un'unica soluzione.
Poi nota che la funzione costante $\bar(C)(t):=30$ è una soluzione dell'equazione differenziale, la quale però non soddisfa la condizione iniziale: quindi essa può essere tranquillamente scartata.
Ora, supponi che $C(t)!=30$ per ogni $t$: ciò implica che o risulta $C(t)<30$ oppure $C(t)>30$ per ogni $t$. Infatti se esistesse $t_0$ tale che $C(t_0)=30$, allora $C(t)$ sarebbe una soluzione del problema di Cauchy:
$\{(C'(t)=2(30-C(t))),(C(t_0)=30):}$
il quale ha (per il teorema di esistenza ed unicità) la sola soluzione $\bar(C)(t)=30$, quindi dovremmo avere $C(t)=30$ per ogni $t$, il che è assurdo.
Pertanto la soluzione del tuo problema di Cauchy o è tutta $<30$ oppure è tutta $>30$: visto che $C(0)=10<30$, è chiaro che la $C(t)$ che cerchi ha da essere $<30$ per ogni $t$.
Stabilito ciò, il secondo membro dell'equazione differenziale, ossia $2(30-C(t))$, è un numero positivo per ogni valore di $t$: pertanto la tua soluzione $C(t)$ ha la derivata prima $C'(t)=2(30-C(t))>0$, quindi $C(t)$ è strettamente crescente.
Dopo queste considerazioni preliminari, passi alla soluzione vera e propria del problema.
Visto che $C(t)<30$, puoi dividere entrambi i membri dell'equazione per $30-C(t)$ ottenendo:
(*) $\quad (C'(t))/(30-C(t))=2\quad $,
uguaglianza valida per ogni $t$; fissato $tau$, puoi integrare ambo i membri della (*) sull'intervallo $[0,tau]$ conservando l'uguaglianza (infatti stai integrando la stessa funzione scritta in modi diversi) ottenendo:
(**) $\quad \int_0^tau (C'(t))/(30-C(t))" d"t=\int_0^tau 2" d"t=2tau\quad$.
Visto che $C(t)$ è strettamente crescente, nell'integrale al primo membro puoi fare la sostituzione $u=C(t)$: in tal modo, ricordando anche la condizione iniziale, ottieni:
$\int_0^tau (C'(t))/(30-C(t))" d"t=\int_{C(0)}^{C(tau)} 1/(30-u)" d"u=\int_(10)^{C(tau)} 1/(30-u)" d"u=[-ln(30-u)]_(10)^(C(tau))=ln((20)/(30-C(tau)))$
che sostituita in (**) ti porta:
$ln((20)/(30-C(tau)))=2tau \quad \Leftrightarrow \quad C(tau)=30-20*e^(-2tau) \quad$.
Se chiami la variabile indipendente di nuovo $t$, riesci ad affermare che la soluzione al tuo problema di Cauchy è proprio quella determinata da tutti quelli che han postato finora, ossia:
$C(t)=30-20*e^(-2t)\quad$.
Scusa se mi sono dilungato troppo.
Buono studio.
).Innanzitutto nota che il tuo problema, per il teorema di esistenza ed unicità in grande, ha un'unica soluzione.
Poi nota che la funzione costante $\bar(C)(t):=30$ è una soluzione dell'equazione differenziale, la quale però non soddisfa la condizione iniziale: quindi essa può essere tranquillamente scartata.
Ora, supponi che $C(t)!=30$ per ogni $t$: ciò implica che o risulta $C(t)<30$ oppure $C(t)>30$ per ogni $t$. Infatti se esistesse $t_0$ tale che $C(t_0)=30$, allora $C(t)$ sarebbe una soluzione del problema di Cauchy:
$\{(C'(t)=2(30-C(t))),(C(t_0)=30):}$
il quale ha (per il teorema di esistenza ed unicità) la sola soluzione $\bar(C)(t)=30$, quindi dovremmo avere $C(t)=30$ per ogni $t$, il che è assurdo.
Pertanto la soluzione del tuo problema di Cauchy o è tutta $<30$ oppure è tutta $>30$: visto che $C(0)=10<30$, è chiaro che la $C(t)$ che cerchi ha da essere $<30$ per ogni $t$.
Stabilito ciò, il secondo membro dell'equazione differenziale, ossia $2(30-C(t))$, è un numero positivo per ogni valore di $t$: pertanto la tua soluzione $C(t)$ ha la derivata prima $C'(t)=2(30-C(t))>0$, quindi $C(t)$ è strettamente crescente.
Dopo queste considerazioni preliminari, passi alla soluzione vera e propria del problema.
Visto che $C(t)<30$, puoi dividere entrambi i membri dell'equazione per $30-C(t)$ ottenendo:
(*) $\quad (C'(t))/(30-C(t))=2\quad $,
uguaglianza valida per ogni $t$; fissato $tau$, puoi integrare ambo i membri della (*) sull'intervallo $[0,tau]$ conservando l'uguaglianza (infatti stai integrando la stessa funzione scritta in modi diversi) ottenendo:
(**) $\quad \int_0^tau (C'(t))/(30-C(t))" d"t=\int_0^tau 2" d"t=2tau\quad$.
Visto che $C(t)$ è strettamente crescente, nell'integrale al primo membro puoi fare la sostituzione $u=C(t)$: in tal modo, ricordando anche la condizione iniziale, ottieni:
$\int_0^tau (C'(t))/(30-C(t))" d"t=\int_{C(0)}^{C(tau)} 1/(30-u)" d"u=\int_(10)^{C(tau)} 1/(30-u)" d"u=[-ln(30-u)]_(10)^(C(tau))=ln((20)/(30-C(tau)))$
che sostituita in (**) ti porta:
$ln((20)/(30-C(tau)))=2tau \quad \Leftrightarrow \quad C(tau)=30-20*e^(-2tau) \quad$.
Se chiami la variabile indipendente di nuovo $t$, riesci ad affermare che la soluzione al tuo problema di Cauchy è proprio quella determinata da tutti quelli che han postato finora, ossia:
$C(t)=30-20*e^(-2t)\quad$.
Scusa se mi sono dilungato troppo.
Buono studio.
[size=75]Commosso, mi sono avvalso dei miei superpoteri per sistemare con un po' di parentesi graffe un paio di estremi d'integrazione che erano caduti per terra.[/size]
Vedo che gli urang-utang© sono sempre più cacciati con dissimulata ferocia. Chissà che non venga il giorno in cui saranno dichiarati specie protetta.
Vedo che gli urang-utang© sono sempre più cacciati con dissimulata ferocia. Chissà che non venga il giorno in cui saranno dichiarati specie protetta.
"Fioravante Patrone":
[size=75]Commosso, mi sono avvalso dei miei superpoteri per sistemare con un po' di parentesi graffe un paio di estremi d'integrazione che erano caduti per terra.[/size]
Azzie.
grazie mille a tutti ragazzi...ho capito perfettamente!!!
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