Aiuto su problema con successione convergente
Come risolvereste questo problema?
[xn]n è una successione di cauchy
esiste una sua sottosuccessione [xnk]nk convergente
dimostrare che allora [xn]n è anche convergente.
[xn]n è una successione di cauchy
esiste una sua sottosuccessione [xnk]nk convergente
dimostrare che allora [xn]n è anche convergente.
Risposte
Scusa ma se la successione è di Cauchy non converge per ipotesi?
Sia $x_n$ una successione... vale la seguente implicazione:
$x_n$ convergente $=> x_n$ di Cauchy
In generale non si può invertire questa proposizione... qualora però ciò sia lecito ci troviamo in presenza di uno spazio metrico completo.
Per rispondere parzialmente a cippolippo, in $RR^n$ si può usare il teorema di Bolzano-Weierstrass... non so come generalizzare la cosa però
$x_n$ convergente $=> x_n$ di Cauchy
In generale non si può invertire questa proposizione... qualora però ciò sia lecito ci troviamo in presenza di uno spazio metrico completo.
Per rispondere parzialmente a cippolippo, in $RR^n$ si può usare il teorema di Bolzano-Weierstrass... non so come generalizzare la cosa però
Io invece so (dal mio libro e dal mio prof) che una successione $a_(n)subeRR$ converge se e solo se
$AAepsilon>0$ $EEalphainNN$ t.c $|a_(n)-a_(m)|alpha$
che è la condizione per cui una successione possa dirsi di Cauchy.
Mi hanno detto che in $RR$ ogni successione di questo tipo risulta convergente e che questo fatto viene espresso dicendo che $RR$ è completo secondo Cauchy.
$AAepsilon>0$ $EEalphainNN$ t.c $|a_(n)-a_(m)|
che è la condizione per cui una successione possa dirsi di Cauchy.
Mi hanno detto che in $RR$ ogni successione di questo tipo risulta convergente e che questo fatto viene espresso dicendo che $RR$ è completo secondo Cauchy.
Sì, in $RR^n$ vale la doppia freccia
Dunque andrebbe dimostrato per uno spazio metrico non necessariamente completo? In tal caso si potrebbe usare il teorema di Bolzano-Weierstrass? Io ne conosco una versione che riguarda gli insiemi di $RR$; esiste una generalizzazione anche per altri insiemi metrici non completi?
Ci provo.
Dunque, dobbiamo dimostrare che una successione ${a_(n)}_(ninNN)$ di Cauchy per cui è possibile trovare una estratta convergente converge.
Esplicitiamo le ipotesi; sia ${a_(n)}_(ninNN)$ una successione in uno spazio pseudo-metrico $(X,d)$ e ${a_(n_(h))}_(hinNN)$ una sua estratta convergente; si ha dunque:
$AAepsilon/2>0$ $EEn_(0)inNN$ t.c. $d(a_(n), a_(m))=n_(0)$ inoltre si ha:
$AAsigma/2>0$ $EEkinNN$ t.c. $d(a_(n_(h)), l)=k$ essendo $l$ il limite della sottosuccessione.
Il risultato sarà acquisito quando faremo vedere che
$AAalpha>0$ $EEn_(1)inNN$ t.c. $d(a_(n), l)=n_(1)$
Per far ciò scegliamo $epsilon$ e $sigma$ nell'ipotesi in modo che $epsilon=sigma=alpha$ e poi facciamo in modo che $n_(h)>h>max(n_(0), k)$; per garantire la prima disuguaglianza è necessario ricorrere al seguente
LEMMA
Sia $(n_(h))subeNN$ una successione crescente. Allora, per ogni $h$ si ha $n_(h)>=h$.
Procedendo per induzione si verifica facilmente.
La precedente catena di disuguaglianze ci permette di poter trovare $a_(n_(h))$ e $a_(m)$ tali che $a_(n_(h))=a_(m)$.
Si ha quindi:
$d(a_(n), a_(m))+d(a_(m), l)
Dunque, dobbiamo dimostrare che una successione ${a_(n)}_(ninNN)$ di Cauchy per cui è possibile trovare una estratta convergente converge.
Esplicitiamo le ipotesi; sia ${a_(n)}_(ninNN)$ una successione in uno spazio pseudo-metrico $(X,d)$ e ${a_(n_(h))}_(hinNN)$ una sua estratta convergente; si ha dunque:
$AAepsilon/2>0$ $EEn_(0)inNN$ t.c. $d(a_(n), a_(m))
$AAsigma/2>0$ $EEkinNN$ t.c. $d(a_(n_(h)), l)
Il risultato sarà acquisito quando faremo vedere che
$AAalpha>0$ $EEn_(1)inNN$ t.c. $d(a_(n), l)
Per far ciò scegliamo $epsilon$ e $sigma$ nell'ipotesi in modo che $epsilon=sigma=alpha$ e poi facciamo in modo che $n_(h)>h>max(n_(0), k)$; per garantire la prima disuguaglianza è necessario ricorrere al seguente
LEMMA
Sia $(n_(h))subeNN$ una successione crescente. Allora, per ogni $h$ si ha $n_(h)>=h$.
Procedendo per induzione si verifica facilmente.
La precedente catena di disuguaglianze ci permette di poter trovare $a_(n_(h))$ e $a_(m)$ tali che $a_(n_(h))=a_(m)$.
Si ha quindi:
$d(a_(n), a_(m))+d(a_(m), l)
"giuseppe87x":
Io invece so (dal mio libro e dal mio prof) che una successione $a_(n)subeRR$ converge se e solo se
$AAepsilon>0$ $EEalphainNN$ t.c $|a_(n)-a_(m)|>epsilon$ $AAn,m>alpha$
che è la condizione per cui una successione possa dirsi di Cauchy.
Mi hanno detto che in $RR$ ogni successione di questo tipo risulta convergente e che questo fatto viene espresso dicendo che $RR$ è completo secondo Cauchy.
Naturalmente .....$|a_(n) -a_(m) | < epsilon .... $
Si, ho corretto grazie.
per chi è abituato alla matematica
una successione di Cauchy, laddove abbia senso parlarne (diciamo spazi metrici, per fissare le idee, ma non è necessario, ci si può lavorare avendo una "unofomità", cfr. ad es. Kelley, ed ovviamente il discorso non si limita alle successioni ma vale pari pari per le successioni generalizzate), non è detto che sia convergente perché non è detto che ci sia un elemento dello spazio, dove vivacchia questa successione, cui essa si possa "appiccicare"
ma l'avere una sottosuccessione (o quel che serve se parliamo di successioni generalizzate) che sia convergente realizza il piccolo miracolo di fare apparire questo "limite", questa carta moschicida
a questo punto, se tutta la successione non ci convergesse, perché mai avremmo inventato le successioni di Cauchy?
i dettagli della dim sono nei post precedenti
una successione di Cauchy, laddove abbia senso parlarne (diciamo spazi metrici, per fissare le idee, ma non è necessario, ci si può lavorare avendo una "unofomità", cfr. ad es. Kelley, ed ovviamente il discorso non si limita alle successioni ma vale pari pari per le successioni generalizzate), non è detto che sia convergente perché non è detto che ci sia un elemento dello spazio, dove vivacchia questa successione, cui essa si possa "appiccicare"
ma l'avere una sottosuccessione (o quel che serve se parliamo di successioni generalizzate) che sia convergente realizza il piccolo miracolo di fare apparire questo "limite", questa carta moschicida
a questo punto, se tutta la successione non ci convergesse, perché mai avremmo inventato le successioni di Cauchy?
i dettagli della dim sono nei post precedenti
io all'inizio avevo pensato ai compatti perchè c'è un teorema che dice che in uno spazio finito dimensionale le seguenti proprietà sono equivalenti: A è compatto, A possiede almeno un punto di accumulazione, ogni successione ammette almeno una sottosuccessione convergente. Per dimostrare il problema avevo letto tale teorema dall'ultima proprietà alla prima.
So che la successione ammette una sottosuccessione convergente (proprieta 3)
dalla sottosuccessione convergente ho un estremo inferiore che è anche punto di accumulazione (l'ho dimostrato) (proprietà 2)
quindi A mi diventa compatto ed in ogni compatto vale che tutte le successioni di cauchy sono convergenti.
Ma forse sono partito da un presupposto sbagliato ovvero che il teorema cui faccio riferimento si possa leggere anche dalla proprietà 3 alla 1 e non solo dalla 1 alla 3.
BOH
So che la successione ammette una sottosuccessione convergente (proprieta 3)
dalla sottosuccessione convergente ho un estremo inferiore che è anche punto di accumulazione (l'ho dimostrato) (proprietà 2)
quindi A mi diventa compatto ed in ogni compatto vale che tutte le successioni di cauchy sono convergenti.
Ma forse sono partito da un presupposto sbagliato ovvero che il teorema cui faccio riferimento si possa leggere anche dalla proprietà 3 alla 1 e non solo dalla 1 alla 3.
BOH
"cippolippo":
io all'inizio avevo pensato ai compatti...
partenza completamente sbagliata
la compattezza serve per avere a disposizione la convergenza di qualche sottosuccesione o giù di lì
mentre questa già la avevi per ipotesi
quindi la strada da seguire non c'entrava niente con l'idea di compattezza
non per insistere ma io sapevo che ogni compatto è completo
a voi non risulta? ho anche fatto la dimostrazione..
così per ritronare al quesito
in ogni compatto (che è anche completo) vale che tutte le successioni di cauchy sono convergenti.
o no?
a voi non risulta? ho anche fatto la dimostrazione..
così per ritronare al quesito
in ogni compatto (che è anche completo) vale che tutte le successioni di cauchy sono convergenti.
o no?
cippolippo, rileggiti attentamente tutto il thread, ma soprattutto il tuo primo post
ribadisco quello che ho detto: "partenza sbagliata"
quello che dici (e che dicevi) è vero
ma non serve a niente per il problema che ponevi
PS: ti faccio notare che non ho detto che è falso quanto affermavi
anche a me risulta che uno spazio metrico compatto è completo
ribadisco quello che ho detto: "partenza sbagliata"
quello che dici (e che dicevi) è vero
ma non serve a niente per il problema che ponevi
PS: ti faccio notare che non ho detto che è falso quanto affermavi
anche a me risulta che uno spazio metrico compatto è completo
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