Aiuto su ordine di infinitesimo
salve a tutti, ho questa funzione $ (arctanx^2)/(4+2x^3) $ e non riesco a trovare l ordine di infinitesimo rispetto ad $x$ per $ x->0 $ . Io ho provato a confrontare la funzione con un generico $ x^a $ e verrebbe fuori $ a = 2$ e e come risultato$ 1/4 $. secondo la correzione on-line del prof ( http://didattica.dmsa.unipd.it/mod/reso ... php?id=387 ) verrebbe fuori altro. Inoltre ,se leggete la correzione non capisco il procedimento tramite de l'Hopital che usa. Qualcuno può chiarirmi questo dubbio?Grazie
Risposte
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In ogni caso, il procedimento "standard" è quello di confrontare un infinitesimo (infinito) con un infinitesimo (infinito) "campione". Nel tuo caso specifico, come hai detto giustamente, devi studiare:
$\lim_{x \to 0}(arctanx^2)/(x^\a(4+2x^3))$
Ora, non posso vedere quello che ha scritto il tuo professore, ma ha sicuramente fatto così.
Il tuo limite si presenta nella forma indeterminata di $[0/0]$.
Semplicemente, usi il teorema di del'Hopital per eliminare la forma indeterminata.
Una volta che ti trovi in questa situazione, determini alfa in modo tale che il limite sia finito.
In ogni caso, il procedimento "standard" è quello di confrontare un infinitesimo (infinito) con un infinitesimo (infinito) "campione". Nel tuo caso specifico, come hai detto giustamente, devi studiare:
$\lim_{x \to 0}(arctanx^2)/(x^\a(4+2x^3))$
Ora, non posso vedere quello che ha scritto il tuo professore, ma ha sicuramente fatto così.
Il tuo limite si presenta nella forma indeterminata di $[0/0]$.
Semplicemente, usi il teorema di del'Hopital per eliminare la forma indeterminata.
Una volta che ti trovi in questa situazione, determini alfa in modo tale che il limite sia finito.
se vuoi controllare fai login come ospite. Ti andrebbe di scrivermi i passaggio perchè io so usare de l'Hopital ma non capisco come lo usa il professore perchè deriva solo $ x ^a $ ottenendo questa forma $ ((arctanx^2 /( 4+ 2x^3)) (1/(ax^(a-1)))) $ e non trovo la connessione logica!
Ma lascia perdere il teorema del marchese!
Dato che \(\lim_{x\to 0} 4+2x^3 = 4\), l'unica cosa di cui bisogna preoccuparsi nello stabilire l'ordine d'infinitesimo in zero della funzione assegnata è il numeratore \(\arctan x^2\); ma, ricordato il limite notevole:
\[
\lim_{y\to 0} \frac{\arctan y}{y}=1\; ,
\]
usando il teorema sul limite della funzione composta si trova:
\[
\lim_{x\to 0} \frac{\arctan x^2}{x^2}=1\; ;
\]
conseguentemente si ha:
\[
\lim_{x\to 0} \frac{\frac{\arctan x^2}{4+2x^3}}{x^2} = \lim_{x\to 0} \frac{\arctan x^2}{x^2}\ \frac{1}{4+2x^3} =1\cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{4}
\]
e ciò assicura che la funzione assegnata è un infinitesimo d'ordine \(2\) in zero.
Dato che \(\lim_{x\to 0} 4+2x^3 = 4\), l'unica cosa di cui bisogna preoccuparsi nello stabilire l'ordine d'infinitesimo in zero della funzione assegnata è il numeratore \(\arctan x^2\); ma, ricordato il limite notevole:
\[
\lim_{y\to 0} \frac{\arctan y}{y}=1\; ,
\]
usando il teorema sul limite della funzione composta si trova:
\[
\lim_{x\to 0} \frac{\arctan x^2}{x^2}=1\; ;
\]
conseguentemente si ha:
\[
\lim_{x\to 0} \frac{\frac{\arctan x^2}{4+2x^3}}{x^2} = \lim_{x\to 0} \frac{\arctan x^2}{x^2}\ \frac{1}{4+2x^3} =1\cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{4}
\]
e ciò assicura che la funzione assegnata è un infinitesimo d'ordine \(2\) in zero.
allora era giusto! al prof veniva 1/12. Comuqnue grazie mille,gentilissimo!
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