Aiuto su norma
Salve ragazzi, avrei questo problemino da risolvere ->
In $\mathbb{R}^n$ ho $\bar x \equiv (x_1,...,x_n)$, devo verificare che $||\bar x||_2 : =\sqrt{x_1^2+...+x_2^2}$ verifica le proprietà di norma, ho quindi agito così
1) $||\bar x||_2 \geq 0 \forall \bar x \in \mathbb{R}^n$ vera per come è definita $||\bar x||_2$
2)$||\bar x||_2 =0 \Leftrightarrow \bar x=\bar 0$ e su questa non ci sono problemi
3)$||c\cdot \bar x||_2=|c|\cdot||\bar x||_2$
Dim:
$||c\cdot \bar x||_2=\sqrt{\sum_{i=1}^n c^2\cdotx_i^2)$ poichè c^2 è una costante si può portare fuori dalla sommatoria ed ho $\sqrt{c^2\cdot \sum_{i=1}^n x_i^2} = |c| \cdot \sqrt{\sum_{i=1}^n x_i^2}$ che è appunto $|c| \cdot ||\bar x||_2$
Come dimostro la disuguaglianza triangolare?
$||\bar x+\bar y||_2 \leq ||\bar x||_2 + ||\bar y||_2$
In $\mathbb{R}^n$ ho $\bar x \equiv (x_1,...,x_n)$, devo verificare che $||\bar x||_2 : =\sqrt{x_1^2+...+x_2^2}$ verifica le proprietà di norma, ho quindi agito così
1) $||\bar x||_2 \geq 0 \forall \bar x \in \mathbb{R}^n$ vera per come è definita $||\bar x||_2$
2)$||\bar x||_2 =0 \Leftrightarrow \bar x=\bar 0$ e su questa non ci sono problemi
3)$||c\cdot \bar x||_2=|c|\cdot||\bar x||_2$
Dim:
$||c\cdot \bar x||_2=\sqrt{\sum_{i=1}^n c^2\cdotx_i^2)$ poichè c^2 è una costante si può portare fuori dalla sommatoria ed ho $\sqrt{c^2\cdot \sum_{i=1}^n x_i^2} = |c| \cdot \sqrt{\sum_{i=1}^n x_i^2}$ che è appunto $|c| \cdot ||\bar x||_2$
Come dimostro la disuguaglianza triangolare?
$||\bar x+\bar y||_2 \leq ||\bar x||_2 + ||\bar y||_2$
Risposte
Purtroppo "\underline" non viene visualizzato correttamente. Io vedo una paginata di "invalid-markup". Se anche gli altri hanno lo stesso problema, ti consiglio di modificare il messaggio sostituendo \underline con qualche altro aggeggio che sia interpretato correttamente dal javascript.
Se \underline ti serve per i vettori, prova ad usare \bar o \vec invece. Questi vengono visualizzati correttamente.
^_^ modificato thk, cattiva abitudine quella di usare "\underline" ^^
Se fai qualche conto ti accorgi che la disuguaglianza triangolare è equivalente alla seguente (qui $x$ e $y$ sono vettori):
$x * y \leq ||x|| * ||y||$.
Questo è un risultato noto: la quantità $(x * y)/(||x|| * ||y||)$ è il coseno dell'angolo formato dai vettori $x$ e $y$ (infatti detto $theta$ tale angolo si ha $x * y = ||x||*||y||*cos(theta)$), quindi è non superiore a $1$.
$x * y \leq ||x|| * ||y||$.
Questo è un risultato noto: la quantità $(x * y)/(||x|| * ||y||)$ è il coseno dell'angolo formato dai vettori $x$ e $y$ (infatti detto $theta$ tale angolo si ha $x * y = ||x||*||y||*cos(theta)$), quindi è non superiore a $1$.
Detto altrimenti, per dimostrare la disuguaglianza triangolare $||x+y||_2<=||x||_2+||y||_2$ devi preventivamente dimostrare che $|\langle x,y\rangle|<=||x||_2*||y||_2$ (disuguaglianza di Cauchy-Schwarz), ove $\langle \cdot,\cdot \rangle$ è il prodotto scalare euclideo che induce la $||\cdot||_2$.
Grazie mille ragazzi ^_^.
vero, infatti ora che ho guardato sul libro per dimostrare la disuguaglianza triangolare passa prima per la disuguaglianza di Cauchy-Schwarz ^_-
"Gugo82":
Detto altrimenti, per dimostrare la disuguaglianza triangolare [...]
vero, infatti ora che ho guardato sul libro per dimostrare la disuguaglianza triangolare passa prima per la disuguaglianza di Cauchy-Schwarz ^_-
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