Aiuto su integrale improprio
devo stabilire se esiste questo integrale improprio:
$ int_(0)^(+oo) sin((pix)/(1+x^4)) dx $
ieri ho provato a risolverlo in vari modi.. ho provato a farlo in maniera moolto classica facendo l'integrale e il limite, ma l'integrale di questo coso qui è un casino!! Suppongo quindi che fosse previsto qualche metodo piu veloce per la risoluzione.. ho pensato con cosa confrontarlo ma non mi veniva in mente niente. Poi poco prima di alzarmi stamattina ho avuto un'illuminazione.. non so da dove ma mi è spuntata in mente la seguente:$ 0
Però, basandomi su questa, visto che è compresa tra 0 e 1, potrei calcolare l'integrale del valore assoluto. Poi semplifico con confronto asintotico visto che x tende a più infinito e sotto lascio $ x^4 $, quindi mi resta $sin (pi/x^3) $ ma se è vero che 0< sin(x) < x allora posso calcolare l'integrale di $ pi/x^3 $ e quindi $ pi * int_(0)^(+oo) 1/x^3 $ e ricondurmi all'integrale noto $ 1 / x^alfa $
Qualcuno può dirmi per favore se sono fuori strada ed eventualmente come fare? Domani ho l'esame e vorrei risolvere quanti più dubbi possibili eheh.
Riassumendo gli integrali impropri. Sono integrali normali solo che fatti su intervalli infiniti o finiti ma con limiti infiniti. Posso rislverli facendo limite dell'integrale a seconda dell'intervallo. Oppure, per facilitarmi le cose posso usare uno o più dei tre teoremi di supporto che sono: "confronto", "valore assoluto", "confronto asintotico".
Col "confronto" se trovo una funzione maggiore di quella data il cui integrale converge allora converge anche l'altra, e se invece una minore diverge allora diverge anche quella maggiore.
Col valore assoluto, quando ho funzioni oscillanti mi basta calcolare l'integrale solo del valore assoluto. Se converge per il valore assoluto converge anche per quella originale.
Col "confronto asintotico" posso in pratica fare le stesse "approsimazioni" che faccio sui limiti a seconda di dove tende la x. Me lo confermate?
Mi potreste indicare le funzioni comunemente più usate per il confronto? (o magari un thread dove sono indicate)?
Vi ringrazio per l'aiuto che sono certo che mi darete.. non potrò rispondere fino a stasera, vado in università a studiare le serie per circa una decina di ore...
ciao a tutti!
$ int_(0)^(+oo) sin((pix)/(1+x^4)) dx $
ieri ho provato a risolverlo in vari modi.. ho provato a farlo in maniera moolto classica facendo l'integrale e il limite, ma l'integrale di questo coso qui è un casino!! Suppongo quindi che fosse previsto qualche metodo piu veloce per la risoluzione.. ho pensato con cosa confrontarlo ma non mi veniva in mente niente. Poi poco prima di alzarmi stamattina ho avuto un'illuminazione.. non so da dove ma mi è spuntata in mente la seguente:$ 0
Però, basandomi su questa, visto che è compresa tra 0 e 1, potrei calcolare l'integrale del valore assoluto. Poi semplifico con confronto asintotico visto che x tende a più infinito e sotto lascio $ x^4 $, quindi mi resta $sin (pi/x^3) $ ma se è vero che 0< sin(x) < x allora posso calcolare l'integrale di $ pi/x^3 $ e quindi $ pi * int_(0)^(+oo) 1/x^3 $ e ricondurmi all'integrale noto $ 1 / x^alfa $
Qualcuno può dirmi per favore se sono fuori strada ed eventualmente come fare? Domani ho l'esame e vorrei risolvere quanti più dubbi possibili eheh.
Riassumendo gli integrali impropri. Sono integrali normali solo che fatti su intervalli infiniti o finiti ma con limiti infiniti. Posso rislverli facendo limite dell'integrale a seconda dell'intervallo. Oppure, per facilitarmi le cose posso usare uno o più dei tre teoremi di supporto che sono: "confronto", "valore assoluto", "confronto asintotico".
Col "confronto" se trovo una funzione maggiore di quella data il cui integrale converge allora converge anche l'altra, e se invece una minore diverge allora diverge anche quella maggiore.
Col valore assoluto, quando ho funzioni oscillanti mi basta calcolare l'integrale solo del valore assoluto. Se converge per il valore assoluto converge anche per quella originale.
Col "confronto asintotico" posso in pratica fare le stesse "approsimazioni" che faccio sui limiti a seconda di dove tende la x. Me lo confermate?
Mi potreste indicare le funzioni comunemente più usate per il confronto? (o magari un thread dove sono indicate)?
Vi ringrazio per l'aiuto che sono certo che mi darete.. non potrò rispondere fino a stasera, vado in università a studiare le serie per circa una decina di ore...
ciao a tutti!
Risposte
"beppe_c":Buona idea quella disuguaglianza, ma così com'è è falsa, devi aggiungere un valore assoluto: $0<=|sin(x)|< x$. Fatti un disegnino e vedi che vale per ogni $x>0$: [asvg]xmin=0; xmax=9.42; ymin=0; ymax=9.42; axes(); plot("abs(sin(x))"); plot("x");[/asvg]
$0<\sin(x) < x$ che al momento non so se è vera, quando vale ecc.
ah ok, perfetto.. grazie dell'idea del disegnino, non c avevo pensato.
xo a questo punto che il seno sia in valore assoluto o meno non cambia niente, è sufficiente che x sia maggiore di zero. mentre sarebbe verificata sempre la disuguaglianza $ 0 <= sin(x) < |x| $ giusto?
quindi su quest'ultima assunzione potrei fare la verifica sul dell'integrale improprio su $ |f(x)| $ che è sicuramente maggiore di $ sin(x) $ per ogni x, calcolare limite semplificarlo con asintotici, e in caso di convergenza, per il teorema del confronto essendo $ |f(x)| > sin(f(x)) $ allora convergerebbe anche sin ecc,,
ci sono?
xo a questo punto che il seno sia in valore assoluto o meno non cambia niente, è sufficiente che x sia maggiore di zero. mentre sarebbe verificata sempre la disuguaglianza $ 0 <= sin(x) < |x| $ giusto?
quindi su quest'ultima assunzione potrei fare la verifica sul dell'integrale improprio su $ |f(x)| $ che è sicuramente maggiore di $ sin(x) $ per ogni x, calcolare limite semplificarlo con asintotici, e in caso di convergenza, per il teorema del confronto essendo $ |f(x)| > sin(f(x)) $ allora convergerebbe anche sin ecc,,
ci sono?
L'idea è quella ma devi dirle per bene le cose. Quello che devi fare è studiare l'assoluta convergenza di
$\int_0^\infty \sin(\frac{pi x}{1+x^4})\ dx$, usando la disuguaglianza di cui sopra.
$\int_0^\infty \sin(\frac{pi x}{1+x^4})\ dx$, usando la disuguaglianza di cui sopra.
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