Aiuto su integrale con i residui
Ciao a tutti,
non riesco a risolvere il seguente integrale:
$$
I=\int_{-\infty}^{\infty}\frac{x\sin(\pi x)}{x^2-1}dx
$$
Passo all'integrale
$$
\oint_{\Gamma}\frac{z\sin(\pi z)}{z^2-1}dz
$$
Dove $\Gamma$ è il percorso in foto.
Tale integrale è nullo, in quanto il percorso di integrazione non contiene singolarità. Inoltre gli integrali sulle semicirconferenze $\gamma_1$ e $gamma_2$ sono nulli, in quanto, parametrizzando, su $\gamma_1$,
$z+1=\epsilon e^{i\theta}$, per $\epsilon\to 0$ al numeratore appare un $sin(-\pi)=0$, e analogamente su $\gamma_2$, dove appare $sin(\pi)=0$. Rimane da controllare l'integrale sulla semicirconferenza grande, per $R\to\infty$.
E' qui che non so più cosa fare. Non posso applicare il Lemma di Jordan perché la funzione non tende a zero per $R\to\infty$. Ho provato anche a risolvere sostituendo il seno con l'esponenziale complesso $e^{i\pi z}$, ma non ne vengo a capo. Sulle soluzioni è indicato che il risultato è $I=-\pi$.
Tra l'altro, senza fare alcuna sostituzione, sono riuscito a minorare l'integrale sul cerchio grande proprio con $\pi$.
Qualche dritta?
Grazie,
Andrea
non riesco a risolvere il seguente integrale:
$$
I=\int_{-\infty}^{\infty}\frac{x\sin(\pi x)}{x^2-1}dx
$$
Passo all'integrale
$$
\oint_{\Gamma}\frac{z\sin(\pi z)}{z^2-1}dz
$$
Dove $\Gamma$ è il percorso in foto.
Tale integrale è nullo, in quanto il percorso di integrazione non contiene singolarità. Inoltre gli integrali sulle semicirconferenze $\gamma_1$ e $gamma_2$ sono nulli, in quanto, parametrizzando, su $\gamma_1$,
$z+1=\epsilon e^{i\theta}$, per $\epsilon\to 0$ al numeratore appare un $sin(-\pi)=0$, e analogamente su $\gamma_2$, dove appare $sin(\pi)=0$. Rimane da controllare l'integrale sulla semicirconferenza grande, per $R\to\infty$.
E' qui che non so più cosa fare. Non posso applicare il Lemma di Jordan perché la funzione non tende a zero per $R\to\infty$. Ho provato anche a risolvere sostituendo il seno con l'esponenziale complesso $e^{i\pi z}$, ma non ne vengo a capo. Sulle soluzioni è indicato che il risultato è $I=-\pi$.
Tra l'altro, senza fare alcuna sostituzione, sono riuscito a minorare l'integrale sul cerchio grande proprio con $\pi$.
Qualche dritta?
Grazie,
Andrea
Risposte
Integriamo $f(z) = \frac{z e^{i \pi z}}{z^2 -1}$. Abbiamo che $\lim_{z \to -1} (z+1)f(z) = 1/2 e^{-i \pi} = -1/2$ e $\lim_{z \to 1} (z-1)f(z) = 1/2 e^{i \pi} = -1/2$. Ma allora per il lemma del piccolo cerchio abbiamo che:
$$\lim_{\epsilon \to 0^+} \int_{\gamma_{\epsilon,1}} f(z)dz = i \frac{\pi}{2}$$
e che
$$\lim_{\epsilon \to 0^+} \int_{\gamma_{\epsilon,-1}} f(z)dz = i \frac{\pi}{2}$$
ove $\gamma_{\epsilon, \pm 1}$ indica le semicirconferenze di centro $\pm 1$ e raggio $\epsilon$.
Ora, posto $g(z) = \frac{z}{z^2-1}$, poiché $g(z) \overset{z \to \infty}{\to} 0$, possiamo applicare il lemma di Jordan alla semicirconferenza più grande:
$$\lim_{R \to \infty} \int_{\gamma_R} f(z) dz= \lim_{R \to \infty} \int_{\gamma_R} g(z) e^{i \pi z} dz = 0$$
Ne segue che $$\int^{+\infty}_{-\infty} \frac{x e^{i \pi x}}{x^2-1} dx = -i \pi$$
e perciò
$$\int^{+\infty}_{-\infty} \frac{x \sin(\pi x)}{x^2-1} dx = \mathfrak{Im} \bigg(\int^{+\infty}_{-\infty} \frac{x e^{i \pi x}}{x^2-1} dx \bigg) = -\pi$$
$$\lim_{\epsilon \to 0^+} \int_{\gamma_{\epsilon,1}} f(z)dz = i \frac{\pi}{2}$$
e che
$$\lim_{\epsilon \to 0^+} \int_{\gamma_{\epsilon,-1}} f(z)dz = i \frac{\pi}{2}$$
ove $\gamma_{\epsilon, \pm 1}$ indica le semicirconferenze di centro $\pm 1$ e raggio $\epsilon$.
Ora, posto $g(z) = \frac{z}{z^2-1}$, poiché $g(z) \overset{z \to \infty}{\to} 0$, possiamo applicare il lemma di Jordan alla semicirconferenza più grande:
$$\lim_{R \to \infty} \int_{\gamma_R} f(z) dz= \lim_{R \to \infty} \int_{\gamma_R} g(z) e^{i \pi z} dz = 0$$
Ne segue che $$\int^{+\infty}_{-\infty} \frac{x e^{i \pi x}}{x^2-1} dx = -i \pi$$
e perciò
$$\int^{+\infty}_{-\infty} \frac{x \sin(\pi x)}{x^2-1} dx = \mathfrak{Im} \bigg(\int^{+\infty}_{-\infty} \frac{x e^{i \pi x}}{x^2-1} dx \bigg) = -\pi$$
Ciao, grazie per l'esaustiva risposta!
C'è un unico passaggio che non mi è chiaro: gli integrali sulle semicirconferenze $\gamma_{\epsilon,\pm 1}$ non dovrebbero avere un segno meno davanti, visto che sono percorsi in senso orario?
C'è un unico passaggio che non mi è chiaro: gli integrali sulle semicirconferenze $\gamma_{\epsilon,\pm 1}$ non dovrebbero avere un segno meno davanti, visto che sono percorsi in senso orario?
Sì, hai ragione. ora correggo il segno. Infatti così torna, perché:
$$\int_{-R}^{-1-\epsilon} f(x) dx + \int_{\gamma_{\epsilon, -1}} f(z) dz + \int_{-1 +\epsilon}^{1 - \epsilon} f(x) dx +\int_{\gamma_{\epsilon, 1}} f(z) dz + \int_{1+\epsilon}^R f(x) dx + \int_{\gamma_R} f(z) dz = 0$$
Perciò, passando ai limiti per $R \to \infty$ e $\epsilon \to 0^+$, ottieni:
$$\int^{+\infty}_{-\infty} f(x) dx + i \frac{\pi}{2} + i \frac{\pi}{2} = 0$$
da cui il risultato.
$$\int_{-R}^{-1-\epsilon} f(x) dx + \int_{\gamma_{\epsilon, -1}} f(z) dz + \int_{-1 +\epsilon}^{1 - \epsilon} f(x) dx +\int_{\gamma_{\epsilon, 1}} f(z) dz + \int_{1+\epsilon}^R f(x) dx + \int_{\gamma_R} f(z) dz = 0$$
Perciò, passando ai limiti per $R \to \infty$ e $\epsilon \to 0^+$, ottieni:
$$\int^{+\infty}_{-\infty} f(x) dx + i \frac{\pi}{2} + i \frac{\pi}{2} = 0$$
da cui il risultato.
Perfetto, ora è tutto chiaro.
Grazie della pazienza!
Andrea
Grazie della pazienza!
Andrea
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