Aiuto su insiemi connessi o meno

[Gmork]

Salve,

Ho la funzione:

$f(x,y)=\sqrt {x(y-3)(y^2+x^4-4)}\ :\ A\to \mathbb{R}^{+}_0$ con $A={(x,y)\in \mathbb{R}^2\ :\ x(y-3)(y^2+x^4-4)\>=0}$

dovrei stabilire se $A$ è connesso oppure no. Suggerimenti ?

Io ho trovato intanto che tutti i punti che stanno in $\Gamma={(x,y)\in A\ :\ f(x,y)=0}$ sono punti di minimo assoluto e tali punti sono quelli:

1) sull'asse $y$ ;
2) sulla retta $y=3$ ;
3) sulla circonferenza di centro nell'origine e raggio pari a 2.

Cosa dovrei fare?

[dissonance]

Ma cosa c'entra la funzione $f$ con la connessione di $A$? E cosa c'entrano i punti di massimo o di minimo per $f$ con la connessione di $A$? Non è proprio per nulla chiaro cosa tu stia facendo. Qual è l'esercizio che stai cercando di risolvere?

[Gmork]

In effetti l'esercizio non è calcolare gli estremanti di $f$ ma vedere se $A$ è o meno connesso. Solamente che $A$ è descritto da una funzione $h(x,y)$ e mi domandavo se percaso non ci fosse qualche collegamento tra il segno di $h(x,y)$ e la connessione di $A$

[dissonance]

No, no. Devi disegnare l'insieme $A$ per renderti conto di come è fatto e capire se abbia una o più componenti connesse. Ma cosa c'entra la funzione $f$?

[Gmork]

"dissonance":Ma cosa c'entra la funzione $f$?

Mi sembrava si potesse applicare qualche teorema visto che $f$ è continua per capire se $A$ è connesso.


I punti di $A$ dovrebbero essere i punti $x>=0$, $x>=3$ , i punti all'esterno o sulla circonferenza di raggio pari a 2. Lo sono anche i punti con ascissa $<=0$ ma o con $y<=3$ oppure interni al disco di raggio pari a 2. Giusto?

[dissonance]

Giusto?

Non è una cosa che puoi descrivere a parole. Devi fare un disegno. Per controllare il risultato poi puoi usare Wolfram Alpha.

[Gmork]

Ok, l'ho fatto su W.A. ma non mi sembra molto chiaro...

però ho tracciato sul piano tutti gli insiemi in cui $h(x,y)=x(y-3)(y^2+x^2-4)>0$ ovvero $S=B\cup C\cup D$ con:

$B={(x,y)|x>0,y>0, x^2+y^2>4}$ , $C={(x,y)|x<0, y<3, x^2+y^2>4}$, $D={(x,y)| y<3, x^2+y^2<4, x>0}$

poi abbiamo $\Gamma={(x,y)|h(x,y)=0}$ e vedo che $A=\Gamma \cup S$

questo almeno è giusto?

[dissonance]

Il concetto è quello, si. Mi sa che ti sei scordato un insieme su cui $h$ è positiva, quello in cui $y-3$ è positivo e gli altri due sono negativi.

[Gmork]

Ma come fa ad esistere quell'insieme di cui tu parli ? Ossia un insieme che abbia ordinate maggiori di y=3 ma nello stesso tempo rispetta $y^2+x^2<4$ cioè sta dentro il cerchio ?

[dissonance]

Giusto giusto, hai ragione, è vuoto. Comunque queste cose, come vedi, è un casino farle così. Di solito si procede graficamente; si divide il piano in varie regioni su cui è noto il segno di ciascun fattore e si piazza un $+$ se questo è positivo o un $-$ se è negativo. Alla fine si fa un bilancio dei $-$: le regioni su cui essi sono in numero pari rappresentano $A$. Più facile da fare che da dire, e sicuramente lo avrai visto fare qualche volta.

[gugo82]

Piano piano.

Studiamo il segno della funzione [tex]$h(x,y)=x(y-3)(x^2+y^2-4)$[/tex]: essa è positiva solo se:

1. [tex]$\begin{cases} x\geq 0 \\ y\geq 3 \\ x^2+y^2\geq 4 \end{cases}$[/tex] oppure

2. [tex]$\begin{cases} x\geq 0 \\ y\leq 3 \\ x^2+y^2\leq 4 \end{cases}$[/tex] oppure

3. [tex]$\begin{cases} x\leq 0 \\ y\geq 3 \\ x^2+y^2\leq 4 \end{cases}$[/tex] oppure

4. [tex]$\begin{cases} x\leq 0 \\ y\leq 3 \\ x^2+y^2\geq 4 \end{cases}$[/tex];

si vede che il caso 3 non ha soluzioni (perchè il cerchio definito dall'ultima disuguaglianza non interseca il semipiano definito dalla seconda), mentre le altre hanno tutte soluzione semplice da disegnare.

[Gmork]

E io infatti sul foglio ho fatto come dici tu. Ora il punto è :

Percaso $A$ è connesso perchè esistono ben 3 curve che congiungono $Gamma$ con $S$ (ne basterebbe una, no?) ?

[Gmork]

@Gugo: ma tu hai descritto quando $h$ è non negativa, no? Sì, so che per questa analisi non importa poi molto la differenza, ma era tanto per capire.

[gugo82]

Ma Orlok, scusa...
Vuoi sapere se [tex]$A:=\{ h(x,y)\geq 0\}$[/tex] è connesso? Bene, allora basta che guardi la figura che esce fuori dal disegno (e tieni presente qualche teoremino di caratterizzazione dei connessi).

Altrimenti non capisco cosa tu voglia sapere.
Illuminaci.

[Gmork]

@Gugo: sì, voglio sapere proprio quello. Mi pare che ce ne sia uno di teorema che dice che un insieme A è connesso se esiste una curva $\alpha\subset A$ $\forall P_1,P_2\in A$ tale che $\alpha$ congiunge i due punti

[gugo82]

E qui la curva la trovi, no?

[Gmork]

Per alcuni punti sì...ma capisco che deve valere per tutti i punti. Mi confonde il fatto che sia l'insieme in cui $h=0$ che l'insieme in cui $h>0$ è fatto di tanti pezzi.


EDIT: per esempio, mi domando se è lecito pensare la suddetta curva che parte da un punto che sta sulla circonferenza (quindi un punto in cui $h=0$ con un punto che sta nella regione con $x>0$ , $y>3$ , $x^2+y^2>4$)


EDIT 2: Trovata! Bastava muoversi solo in A.

[gugo82]

L'insieme [tex]$\{h>0\}$[/tex] è unione di tre aperti non vuoti disgiunti, ergo non è connesso.
L'insieme [tex]$\{ h=0\}$[/tex] è unione di un numero finito di archi regolari con estremi in comune, quindi esso è connesso per archi.

Caso vuole che tra i punti di [tex]$\{ h=0\}$[/tex] ci siano anche i punti [tex]$(0,3),(0,2),(0,-2)$[/tex] che servono a far diventare connesso per archi [tex]$\{ h>0\}$[/tex]; quindi "per magia" [tex]$\{ h\geq 0\} =\{ h> 0\} \cup \{ h= 0\}$[/tex] è connesso per archi e quindi connesso.

[Gmork]

Sì, infatti sto vedendo che per ogni coppia di punti, riesco a trovare la curva che cercavo. Grazie Gugo. Solo un'ultima domanda. Ma la definizione in cui si utilizza il metodo della curva vale quindi anche per insiemi chiusi, giusto?

[gugo82]

Sì, in [tex]$\mathbb{R}^N$[/tex].