Aiuto su foruier
ragazzi ho bisogno di un piccolo aiuto su fourier. io ho la funzione $f(x) = |x| - 2pisin(4x)$ con periodo $|x|
Risposte
Le considerazioni dovrebbero essere queste: hai |x| che è pari dunque solo termini in coseni, poi hai già un termine in seno con il suo coefficiente già in bell'evidenza (quarta armonica): $b_4=-2pi$. Mentre |x| replicato con periodicità sarebbe un triangolo, e ricordandosi le proprietà di convoluzione, l'inviluppo della trasformata del triangolo è un seno cardinale al quadrato; questo inviluppo dà i coefficienti $a_n$.
waz!!! è una spegazione troppo elevata per me 
:D non l'ho capita molto scusa :D il prof dice:
"la funzione data è somma di due funzioni, la prima è pari, la seconda dispari. dunque $|x|$ determina i coefficienti $a_n$ mentre $-2pisin(4x)$ i coefficienti $b_n$. poichè $sin(4x) è una delle funzioni trigonometriche dello sviluppo di fourier, si ricava immediatamente che $b_n = 0$ per $n!=4$, mentre $b_4$ = -2pi."
dopodichè svolge i conti di a_n considerando solo l'integrale da o a $pi$ solo di $xcosx$ senza considerare la parte col seno..... mi richiariresti bene usando come spunto le parole di roberto lucchetti che ho citato sopra? (ho copiato esattamente quello che ha scritto lui). grazie 1000
:D non l'ho capita molto scusa :D il prof dice: "la funzione data è somma di due funzioni, la prima è pari, la seconda dispari. dunque $|x|$ determina i coefficienti $a_n$ mentre $-2pisin(4x)$ i coefficienti $b_n$. poichè $sin(4x) è una delle funzioni trigonometriche dello sviluppo di fourier, si ricava immediatamente che $b_n = 0$ per $n!=4$, mentre $b_4$ = -2pi."
dopodichè svolge i conti di a_n considerando solo l'integrale da o a $pi$ solo di $xcosx$ senza considerare la parte col seno..... mi richiariresti bene usando come spunto le parole di roberto lucchetti che ho citato sopra? (ho copiato esattamente quello che ha scritto lui). grazie 1000
Allora, per il seno non credo ci siano problemi: tu vuoi sviluppare f(x) con un polinomio trigonometrico, visto che |x| non dà contributi per i seni, hai solo il contributo di $-2pisin(4x)$; ora, evidentemente il contributo è della quarta armonica (4x), quindi $b_(4)=-2pi$ poichè è il coefficiente moltiplicativo del seno.
Per i coefficienti $a_(k)$:
$a_(k)=1/(pi)int_(-pi)^(pi)|x|cos(kx)dx = 2/(pi)int_0^(pi)xcos(kx)dx$
che sai integrare, oppure puoi usare una scorciatoia: sai che la trasformata di un rettangolo è un seno cardinale; |x| replicato è una ripetizione di triangoli; il triangolo puoi vederlo come convoluzione di 2 rettangoli di durata metà durata del triangolo. La trasformata di una convoluzione è il prodotto delle trasformate delle funzioni che convolvi. Quindi la trasformata del triangolo è un seno cardinale elevato al quadrato.
Per i coefficienti $a_(k)$:
$a_(k)=1/(pi)int_(-pi)^(pi)|x|cos(kx)dx = 2/(pi)int_0^(pi)xcos(kx)dx$
che sai integrare, oppure puoi usare una scorciatoia: sai che la trasformata di un rettangolo è un seno cardinale; |x| replicato è una ripetizione di triangoli; il triangolo puoi vederlo come convoluzione di 2 rettangoli di durata metà durata del triangolo. La trasformata di una convoluzione è il prodotto delle trasformate delle funzioni che convolvi. Quindi la trasformata del triangolo è un seno cardinale elevato al quadrato.
perfetto, grazie 1000. ora mi è tutto chiaro!! (ciò l'ultia parte ma la devo rileggere un po' magari ) ma per quello che mi serve per l'esame la prima metà è piccheperfetta, come il latino graize ancora.
) ma per quello che mi serve per l'esame la prima metà è piccheperfetta, come il latino graize ancora.
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