Aiuto su esercizio

nikki1
Ho dei problemi su come svolgere questo esercizio; studiare la successione definita per ricorrenza ponendo a1 appartenente a R+, an+1=an arctan an; determinare tutti i valori di a1 per cui essa converge, diverge ed è costante

Risposte
Sk_Anonymous
Suggerimento: studiare le intersezioni tra y=x e y=x arctan(x). Se disegni per bene queste due funzioni, puoi facilmente capire l'andamento della successione a_n.

Luca77
http://www.llussardi.it

nikki1
Cosa si intende per successione definita per ricorrenza? Ho cercato sul mio libro di testo ma non ho trovato riferimenti.

asdf4
quote:
Originally posted by nikki

Cosa si intende per successione definita per ricorrenza? Ho cercato sul mio libro di testo ma non ho trovato riferimenti.



Detto in soldoni, una successione definita per ricorrenza è descritta da una legge che lega l'elemento n+1esimo all' elemento immediatamente precedente. Quindi fissato l'elemento a1, trovi a2, poi a3... E iterando il procedimento trovi l'elemento nesimo.
Possono esistere valori di a1 che siano soluzioni "stazionarie" ovvero an+1=an per ogni n. Nell'esempio è a1= pi/4.
In alcuni punti poi si vede che la tua successione per ricorrenza è monotona crescente e nel caso specifico addirittura diverge ( dove?). Luca77 ti ha dato l'aiuto decisivo...

nikki1
quindi se non ho capito male a1=an arctan an-n?
le 2 funzioni si intersecano in x=0 e x=pi/4, entrambe sono crescenti, vuol dire che per x>pi/4 diverge? x=0 e x=pi/4 sono punti stazionari perchè sono i punti in cui si annulla l'intersezione? la successione è negativa per 0 converge a zero?

asdf4
quote:
Originally posted by nikki

quindi se non ho capito male a1=an arctan an-n?
le 2 funzioni si intersecano in x=0 e x=pi/4, entrambe sono crescenti, vuol dire che per x>pi/4 diverge? x=0 e x=pi/4 sono punti stazionari perchè sono i punti in cui si annulla l'intersezione? la successione è negativa per 0 converge a zero?



Occhio, i termini della successione sono sempre positivi!
Tu studi il grafico y=xarctgx e y=x.
Le due soluzioni stazionarie sono a1=0 e a1=pi/4.
Nei punti con 0pi/4 invece la successione è crescente, e ad occhio direi che diverge a +oo.
Questo vuol dire che se fissi a1 maggiore di pi/4, la successione tende a "lievitare" perchè ogni an+1 è maggiore di an e sono tutti positivi.
Se invece stai con a1 tra 0 e pi/4, la successione tende a decrescere per il motivo opposto e definitivamente si sgonfia a 0.
Credo che sia giusto, forse dovresti chiedere a Luca77 che di sicuro saprà spiegare meglio di me e correggere le mie inesattezze.
Ciao

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