Aiuto su esercizio
Ho dei problemi su come svolgere questo esercizio; studiare la successione definita per ricorrenza ponendo a1 appartenente a R+, an+1=an arctan an; determinare tutti i valori di a1 per cui essa converge, diverge ed è costante
Risposte
Suggerimento: studiare le intersezioni tra y=x e y=x arctan(x). Se disegni per bene queste due funzioni, puoi facilmente capire l'andamento della successione a_n.
Luca77
http://www.llussardi.it
Luca77
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Cosa si intende per successione definita per ricorrenza? Ho cercato sul mio libro di testo ma non ho trovato riferimenti.
quote:
Originally posted by nikki
Cosa si intende per successione definita per ricorrenza? Ho cercato sul mio libro di testo ma non ho trovato riferimenti.
Detto in soldoni, una successione definita per ricorrenza è descritta da una legge che lega l'elemento n+1esimo all' elemento immediatamente precedente. Quindi fissato l'elemento a1, trovi a2, poi a3... E iterando il procedimento trovi l'elemento nesimo.
Possono esistere valori di a1 che siano soluzioni "stazionarie" ovvero an+1=an per ogni n. Nell'esempio è a1= pi/4.
In alcuni punti poi si vede che la tua successione per ricorrenza è monotona crescente e nel caso specifico addirittura diverge ( dove?). Luca77 ti ha dato l'aiuto decisivo...
quindi se non ho capito male a1=an arctan an-n?
le 2 funzioni si intersecano in x=0 e x=pi/4, entrambe sono crescenti, vuol dire che per x>pi/4 diverge? x=0 e x=pi/4 sono punti stazionari perchè sono i punti in cui si annulla l'intersezione? la successione è negativa per 0 converge a zero?
le 2 funzioni si intersecano in x=0 e x=pi/4, entrambe sono crescenti, vuol dire che per x>pi/4 diverge? x=0 e x=pi/4 sono punti stazionari perchè sono i punti in cui si annulla l'intersezione? la successione è negativa per 0
quote:
Originally posted by nikki
quindi se non ho capito male a1=an arctan an-n?
le 2 funzioni si intersecano in x=0 e x=pi/4, entrambe sono crescenti, vuol dire che per x>pi/4 diverge? x=0 e x=pi/4 sono punti stazionari perchè sono i punti in cui si annulla l'intersezione? la successione è negativa per 0converge a zero?
Occhio, i termini della successione sono sempre positivi!
Tu studi il grafico y=xarctgx e y=x.
Le due soluzioni stazionarie sono a1=0 e a1=pi/4.
Nei punti con 0
Questo vuol dire che se fissi a1 maggiore di pi/4, la successione tende a "lievitare" perchè ogni an+1 è maggiore di an e sono tutti positivi.
Se invece stai con a1 tra 0 e pi/4, la successione tende a decrescere per il motivo opposto e definitivamente si sgonfia a 0.
Credo che sia giusto, forse dovresti chiedere a Luca77 che di sicuro saprà spiegare meglio di me e correggere le mie inesattezze.
Ciao