Aiuto su equazione differenziale di primo ordine a variabili separabili
Salve a tutti,
mi sto preparando per un esame di Analisi II (Ing. Elettronica e delle Telecomunicazioni), mi sto esercitando con degli esercizi d'esame passati, ce ne sono un paio in particolare che mi danno un po' di problemi, vorrei soffermarmi su uno (che in realtà mi dà problemi su un argomento di Analisi I, ma tant'è...),
L'equazione differenziale è la seguente:
$ y' = y\frac{2x^2+x+4}{2x^3-x+1} $
È un'equazione di primo ordine sia lineare (omogenea) che a variabili separabili. Cambia poco a livello di risoluzione, ad ogni modo la risolvo come un'equazione a variabili separabili, quindi:
- innanzitutto applico il teorema di Cauchy per l'esistenza e unicità della soluzione per equazioni differenziali a variabili separabili ($ y' = a(x)b(y) $). In questo caso, $ b(y) = y $, è di classe $ C^oo(\mathbb{R}) $, quindi la soluzione esiste ed è unica su tutto l'intervallo di continuità di $ a(x) $, che è a sua volta determinato dal denominatore (che dev'essere non nullo). Il denominatore della frazione è un polinomio di terzo grado, tramite la Regola di Ruffini si arriva a scomporlo in $ (2x^2 - 2x + 1)(x+1) $, il primo fattore è un polinomio di secondo grado a discriminante negativo, quindi non possiede radici reali. L'intervallo di esistenza (e di continuità) è pertanto $ \mathbb{R}\\{-1} $. L'equazione differenziale ha soluzioni uniche, dunque, per $ y_0 in \mathbb{R}, x_0 \ne -1 $.
- procediamo per integrazione:
$ int\frac{dy}{y} = int\frac{2x^2 + x + 4}{2x^3 - x + 1}dx $
Il primo integrale si risolve facilmente come $ log|y| $, il secondo è invece problematico. Scomponendo il denominatore, la prima idea è di scrivere il numeratore come $ 2x^2 - 2x + 1 + 3x + 3 $, quindi in pratica risulta essere:
$ int\frac{dx}{x+1} + 3int\frac{dx}{2x^2-2x+1} $
Il primo integrale è immediato (è il logaritmo del denominatore), il secondo WolframAlpha me lo riconduce a una somma di arcotangenti ($ 3/2 (arctan(\frac{x-1}{x}) - arctan(\frac{x}{x-1}) $ ), ma in realtà WolframAlpha mi dà risultati diversi a seconda del fatto che io inserisca l'equazione differenziale, l'integrale intero o l'integrale già "scomposto". Ad ogni modo non riesco a ricondurmi a nessuna delle primitive (per avere come primitiva l'arcotangente, l'integranda non dev'essere nella forma $ \frac{1}{x^2 + a} $, con $ a $ costante?).
Grazie.
mi sto preparando per un esame di Analisi II (Ing. Elettronica e delle Telecomunicazioni), mi sto esercitando con degli esercizi d'esame passati, ce ne sono un paio in particolare che mi danno un po' di problemi, vorrei soffermarmi su uno (che in realtà mi dà problemi su un argomento di Analisi I, ma tant'è...),
L'equazione differenziale è la seguente:
$ y' = y\frac{2x^2+x+4}{2x^3-x+1} $
È un'equazione di primo ordine sia lineare (omogenea) che a variabili separabili. Cambia poco a livello di risoluzione, ad ogni modo la risolvo come un'equazione a variabili separabili, quindi:
- innanzitutto applico il teorema di Cauchy per l'esistenza e unicità della soluzione per equazioni differenziali a variabili separabili ($ y' = a(x)b(y) $). In questo caso, $ b(y) = y $, è di classe $ C^oo(\mathbb{R}) $, quindi la soluzione esiste ed è unica su tutto l'intervallo di continuità di $ a(x) $, che è a sua volta determinato dal denominatore (che dev'essere non nullo). Il denominatore della frazione è un polinomio di terzo grado, tramite la Regola di Ruffini si arriva a scomporlo in $ (2x^2 - 2x + 1)(x+1) $, il primo fattore è un polinomio di secondo grado a discriminante negativo, quindi non possiede radici reali. L'intervallo di esistenza (e di continuità) è pertanto $ \mathbb{R}\\{-1} $. L'equazione differenziale ha soluzioni uniche, dunque, per $ y_0 in \mathbb{R}, x_0 \ne -1 $.
- procediamo per integrazione:
$ int\frac{dy}{y} = int\frac{2x^2 + x + 4}{2x^3 - x + 1}dx $
Il primo integrale si risolve facilmente come $ log|y| $, il secondo è invece problematico. Scomponendo il denominatore, la prima idea è di scrivere il numeratore come $ 2x^2 - 2x + 1 + 3x + 3 $, quindi in pratica risulta essere:
$ int\frac{dx}{x+1} + 3int\frac{dx}{2x^2-2x+1} $
Il primo integrale è immediato (è il logaritmo del denominatore), il secondo WolframAlpha me lo riconduce a una somma di arcotangenti ($ 3/2 (arctan(\frac{x-1}{x}) - arctan(\frac{x}{x-1}) $ ), ma in realtà WolframAlpha mi dà risultati diversi a seconda del fatto che io inserisca l'equazione differenziale, l'integrale intero o l'integrale già "scomposto". Ad ogni modo non riesco a ricondurmi a nessuna delle primitive (per avere come primitiva l'arcotangente, l'integranda non dev'essere nella forma $ \frac{1}{x^2 + a} $, con $ a $ costante?).
Grazie.
Risposte
l'idea è quella di ricondursi ad un integrale del tipo $ int(f'(x))/(1+f^2(x)) dx $
a tale scopo ,il denominatore si può scrivere nella forma
$2(x-1/2)^2+1/2$
poi con qualche altro passaggio,il primo dei quali è quello di dividere numeratore e denominatore per $1/2$,ti puoi ricondurre all'integrale immediato che ho scritto all'inizio
a tale scopo ,il denominatore si può scrivere nella forma
$2(x-1/2)^2+1/2$
poi con qualche altro passaggio,il primo dei quali è quello di dividere numeratore e denominatore per $1/2$,ti puoi ricondurre all'integrale immediato che ho scritto all'inizio
Eh, ma la soluzione data da WolframAlpha è diversa (con questo procedimento arrivo a trovare la primitiva $ 3arctan(2x-1) $, peraltro WolframAlpha tra i vari risultati che mi dà (a seconda di cosa inserisco), ha $ -3arctan(1-2x) $, cioè con un cambio di segno da qualche parte (boh), e comunque non so ricondurmi alla soluzione scritta in precedenza.
e infatti,non vi è dubbio che una primitiva di $1/(2x^2-2x+1)$ sia $arctg(2x-1)$
basta derivare per verificarlo
$arctg(2x-1)=-arctg(1-2x)$ perchè l'arcotangente è una funzione dispari
basta derivare per verificarlo
$arctg(2x-1)=-arctg(1-2x)$ perchè l'arcotangente è una funzione dispari
Hai ragione 
Ad ogni modo, inserendo l'equazione differenziale completa in WolframAlpha, l'integrale generale è:
$ y = k(x+1)e^(3/2(arctan(\frac{x-1}{x})-arctan(\frac{x}{x-1})) $
che significherebbe che l'integrale ha come soluzione l'esponente dell'esponenziale e non quella che abbiamo determinato.
Ho provato a calcolare la derivata di entrambe le funzioni, ed effettivamente sono uguali, ma le due funzioni sono diverse, e anche sottraendole non abbiamo nemmeno come grafico una retta (quindi uno scarto costante tra le due funzioni).
Ad ogni modo, inserendo l'equazione differenziale completa in WolframAlpha, l'integrale generale è:
$ y = k(x+1)e^(3/2(arctan(\frac{x-1}{x})-arctan(\frac{x}{x-1})) $
che significherebbe che l'integrale ha come soluzione l'esponente dell'esponenziale e non quella che abbiamo determinato.
Ho provato a calcolare la derivata di entrambe le funzioni, ed effettivamente sono uguali, ma le due funzioni sono diverse, e anche sottraendole non abbiamo nemmeno come grafico una retta (quindi uno scarto costante tra le due funzioni).
ma le primitive di una funzione devono per forza differire di una costante
Appunto! Le due funzioni non differiscono di una costante*. Anzi, facendo una rapida analisi sul dominio delle due funzioni:
a) $ 3/2(arctan(\frac{x-1}{x}) - arctan (\frac{x}{x - 1})) $ è definita su $ \mathbb{R} \\ {0, 1} $
b) $ 3arctan(2x-1) $ è definita su tutto $ \mathbb{R} $
Quindi le due funzioni non sono nemmeno direttamente confrontabili su $ \mathbb{R} $.
Se prendiamo la a) per buona, allora, per $ x_0 = 0 $, l'unica soluzione possibile è la soluzione costante $ y = 0 $ (che contraddice le affermazioni fatte in precedenza, cioè, l'equazione differenziale ammette soluzioni uniche per $ (x_0 , y_0) in \mathbb{R} \\ {-1} \times \mathbb{R} $, il che significa che, ad $ x_0 = 0 $, possiamo associare nelle condizioni iniziali qualsiasi valore reale di $ y_0 $). Se prendiamo la b) per buona, invece, l'integrale generale $ \Phi(x) = k(x+1)e^(3arctan(2x-1)) $ è ben definito per $ x = 0 $, potendo così determinare il valore della costante ( $ y_0 = ke^(-3\pi/4) $ ).
* : in realtà avevo fatto un errore nella digitazione, quindi in realtà si, differiscono di una costante, tratto per tratto
a) $ 3/2(arctan(\frac{x-1}{x}) - arctan (\frac{x}{x - 1})) $ è definita su $ \mathbb{R} \\ {0, 1} $
b) $ 3arctan(2x-1) $ è definita su tutto $ \mathbb{R} $
Quindi le due funzioni non sono nemmeno direttamente confrontabili su $ \mathbb{R} $.
Se prendiamo la a) per buona, allora, per $ x_0 = 0 $, l'unica soluzione possibile è la soluzione costante $ y = 0 $ (che contraddice le affermazioni fatte in precedenza, cioè, l'equazione differenziale ammette soluzioni uniche per $ (x_0 , y_0) in \mathbb{R} \\ {-1} \times \mathbb{R} $, il che significa che, ad $ x_0 = 0 $, possiamo associare nelle condizioni iniziali qualsiasi valore reale di $ y_0 $). Se prendiamo la b) per buona, invece, l'integrale generale $ \Phi(x) = k(x+1)e^(3arctan(2x-1)) $ è ben definito per $ x = 0 $, potendo così determinare il valore della costante ( $ y_0 = ke^(-3\pi/4) $ ).
* : in realtà avevo fatto un errore nella digitazione, quindi in realtà si, differiscono di una costante, tratto per tratto
Vabè, in attesa di eventuali risposte, vorrei porvi il seguente quesito d'esame (un'altra equazione diff. di primo ordine a variabili separabili).
$ { ( y' + (2 + 1/2cosx+log(x^2 + 1))y = 0),( y(0) = alpha ):} $
$ (alpha in RR) $
(a) Stabilire per quali valori di $ alpha $ il problema di Cauchy ammette la soluzione costante di costante
valore $ alpha $ (in un intorno di 0).
(b) Studiare il segno della soluzione del problema di Cauchy al variare di $ alpha in RR $.
(c) Determinare l'espressione esplicita della soluzione del problema di Cauchy al variare di $ alpha in RR $.
...non so nemmeno da dove cominciare!
$ { ( y' + (2 + 1/2cosx+log(x^2 + 1))y = 0),( y(0) = alpha ):} $
$ (alpha in RR) $
(a) Stabilire per quali valori di $ alpha $ il problema di Cauchy ammette la soluzione costante di costante
valore $ alpha $ (in un intorno di 0).
(b) Studiare il segno della soluzione del problema di Cauchy al variare di $ alpha in RR $.
(c) Determinare l'espressione esplicita della soluzione del problema di Cauchy al variare di $ alpha in RR $.
...non so nemmeno da dove cominciare!
per quanto riguarda la domanda di apertura del post ,fregandomene altamente di quello che dice wolfram,io direi
$ln|y|=ln|x+1|+3arctg(2x-1)+lnk$ con $k>0$
$|y|=k(|x+1|)e^(3arctg(2x-1))$
$y=c(x+1)e^(3arctg(2x-1))$
per quanto riguarda il primo punto della seconda domanda mi sembra ovvio che la funzione $y=0$ verifica il problema di Cauchy con $alpha=0$
per il 3° punto penso che tu non abbia problemi
il 2° punto,a mio parere il più interessante,penso che richieda uno studio qualitativo della soluzione
mi ripropongo di dargli un'occhiata ma è molto probabile che ti giungerà prima la risposta di qualche altro utente
edit : per quanto riguarda il 2° punto,penso che si possa ragionare così :
se si scrive l'equazione nella forma $y'=f(x,y)$ si vede che la $f(x,y)$ è definita in $mathbbR^2$ ed ha in questo insieme $f_y$ continua: ciò assicura l'esistenza e unicità della soluzione $y=varphi(x)$ del problema di Cauchy per ogni $x_0,y_0$ tale che $varphi(x_0)=y_0$
detto questo ,se $alpha>0$ la soluzione $y=varphi(x)$ del problema di Cauchy dato resta sempre positiva perchè, se per assurdo esistesse $x_0$ tale che $varphi(x_0)=0$ ,il problema di Cauchy con la condizione $varphi(x_0)=0$ avrebbe 2 soluzioni perchè sicuramente ha come soluzione la funzione identicamente nulla
analogamente si ragiona per $alpha<0$
$ln|y|=ln|x+1|+3arctg(2x-1)+lnk$ con $k>0$
$|y|=k(|x+1|)e^(3arctg(2x-1))$
$y=c(x+1)e^(3arctg(2x-1))$
per quanto riguarda il primo punto della seconda domanda mi sembra ovvio che la funzione $y=0$ verifica il problema di Cauchy con $alpha=0$
per il 3° punto penso che tu non abbia problemi
il 2° punto,a mio parere il più interessante,penso che richieda uno studio qualitativo della soluzione
mi ripropongo di dargli un'occhiata ma è molto probabile che ti giungerà prima la risposta di qualche altro utente
edit : per quanto riguarda il 2° punto,penso che si possa ragionare così :
se si scrive l'equazione nella forma $y'=f(x,y)$ si vede che la $f(x,y)$ è definita in $mathbbR^2$ ed ha in questo insieme $f_y$ continua: ciò assicura l'esistenza e unicità della soluzione $y=varphi(x)$ del problema di Cauchy per ogni $x_0,y_0$ tale che $varphi(x_0)=y_0$
detto questo ,se $alpha>0$ la soluzione $y=varphi(x)$ del problema di Cauchy dato resta sempre positiva perchè, se per assurdo esistesse $x_0$ tale che $varphi(x_0)=0$ ,il problema di Cauchy con la condizione $varphi(x_0)=0$ avrebbe 2 soluzioni perchè sicuramente ha come soluzione la funzione identicamente nulla
analogamente si ragiona per $alpha<0$
Certo, era così ovvio. Avevo interpretato male la traccia... Grazie dell'aiuto!
Un'altra domanda rapida (questo esercizio credo di averlo risolto correttamente).
$ { (y' = \frac{x^4 + 1}{x^2 + 1}\frac{e^y}{2+sin y}), (y(0) = \alpha) :} $
Di questo esercizio si richiede di risolvere il problema di Cauchy (e la determinazione esplicita della soluzione non credo sia possibile, non essendo in forma chiusa), e di dire se esistono (e determinare quali siano) valori di $ \alpha $ tali che la soluzione sia costante. Credo di aver correttamente determinato che l'insieme delle soluzioni è $ RR^2 $ poichè sia $ a(x) $ che $ b(y) $ sono di classe $ C^\infty(RR) $, ma soluzioni costanti non ne vedo, poichè $ b(y) $ non si annulla mai.
$ { (y' = \frac{x^4 + 1}{x^2 + 1}\frac{e^y}{2+sin y}), (y(0) = \alpha) :} $
Di questo esercizio si richiede di risolvere il problema di Cauchy (e la determinazione esplicita della soluzione non credo sia possibile, non essendo in forma chiusa), e di dire se esistono (e determinare quali siano) valori di $ \alpha $ tali che la soluzione sia costante. Credo di aver correttamente determinato che l'insieme delle soluzioni è $ RR^2 $ poichè sia $ a(x) $ che $ b(y) $ sono di classe $ C^\infty(RR) $, ma soluzioni costanti non ne vedo, poichè $ b(y) $ non si annulla mai.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo