Aiuto su equazione differenziale

[bomhamsik]

raga stavo provando a fare un esercizio del mio libro di mate 2 sulle equazioni differenziali e volevo chiedervi una cosa
in pratica l'esercizio consiste nel calcolare l'integrale generale della equazione a variabili separabili $ y'=2xy^(2) $
ma leggendo lo svolgimento fatto dal libro non ho capito una cosa inizia subito dicendo " La funzione $ y(x)=0 $, $ x in RR $ è soluzione "
non ho capito il senso di stà cosa chi me la spiega?

[walter891]

se sostituisci $0$ al posto di $y$ nell'equazione ti viene un'identità, si dovrebbe capire anche senza fare i conti...

[bomhamsik]

in realtà quello che non capisco è perchè sia una soluzione della equazione...probabilmente dovrò riguardarmi la teoria a stò punto

EDIT: aaaaaaaaaah forse ho capito!!! visto che $ y(x)=0 $ il valore di $ y $ è $ 0 $ quindi sostituisco e mi trovo una identità che quindi verifica la equazione... cavolo che figura

[Mathcrazy]

Scusate, ma io sono stato abituato a risolverle diversamente queste equazioni.
Cioè, nel tuo caso $y(x)=0$ è una soluzione singolare dell'equazione,e vabbè e tutte le altre??? il problema ti chiede l'integrale generale..

Mi spiego meglio.

$y' = 2xy^2$

con $y!=0$, possiamo dividere per $y^2$ entrambi i membri; facciamolo:

$(y')/(y^2) = 2x$

Ovviamente $y=0$, che abbiamo escluso è una soluzione costante *, che però può o meno rientrare nell'integrale generale; se rientrerà potremo definirla una soluzione particolare sennò una soluzione singolare, ma questo lo diremo con certezza alla fine!

Eravamo arrivati qui:

$(y')/(y^2) = 2x$

Ricordiamo che $y' = (dy/dx)$, per cui (svolgo tutti i passaggi):

$((dy)/(dx))* 1/(y^2) = 2x$ $hArr$ $(dy)/(y^2) = 2x * dx$

Integriamo i due membri:

$int ((dy)/(y^2)) = int (2x * dx)$ $hArr$

$-1/y = x^2 + C$ $hArr$

$-y = 1/(x^2+C)$ $hArr$

$y = - (1/(x^2+C))$

dove $C$ è una costante $in R$

Questo che abbiamo trovato è l'integrale generale; e si vede subito che la soluzione costante prima trovata ($y=0$) non rientra, perchè non esiste nessuna $C$ reale che ci permette di ottenere $y=0$ per cui è una soluzione singolare..


Alla fine otteniamo che le soluzione della nostra equazione differenziale sono: $y = - (1/(x^2+C))$ $vv$ $y=0$

Insomma, io sono dell'idea che il libro abbia solo dato un suggerimento per aiutare nello svolgimento dell'esercizio,ma non è giusto dire che $y=0$ è la soluzione dell'equazione e basta.


ps. Se ho commesso errori di calcolo,scusatemi e avvisatemi e solo che vado di fretta (:P) e ho scritto velocemente senza controllare.

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* Soluzione costante perché, supponendo che l'equazione si questa: $y' = f(x)*(g(y(x)))$ con $f$ e $g$ continue.

Se $EE y_0$ tale che $g(y_0)=0$ allora $y=0$ è una soluzione costante perchè:

$y' = f(x)*(g(y_0)) = 0$ $hArr$ $y'=0$ $hArr$ $y=k$ ($k$ costante)

[bomhamsik]

ti ringrazio comunque il mio dubbio magari sciocco era solo su quella soluzione...ma poi il libro và avanti e prosegue come hai fatto tu e in effetti sull'altra soluzione io mi trovavo per quello ho esposto solo il problema della soluzione $ y(x)=0 $