Aiuto su dimostrazione di Filippov. Per favore
$ \dot{x} \in F(t,x) $Salve a tutti sto studiando su un libro di Filippov, una parte relativa alle inclusioni differenziali e ci sta un Teorema che garantisce l'esistenza delle soluzioni di quest'ultime, sotto alcune condizioni. Il problema è che c'è un passaggio che non ho ben capito.
Allora enuncio il teorema e scrivo la dimostrazione (è in inglese ma la traduco):
Sia $F(t,x)$ una multifunzione definita in un dominio $G$ tale che $F(t,x)$ è superiormente semicontinua in $t,x$, $F(t,x)$ è limitato, non vuoto, chiuso e convesso. Allora la soluzione dell'inclusione differenziale $\dot{x} \in F(t,x)$ con $x(t_0) = x_0$ esiste.
Inoltre se esiste un cilindro $Z \subset G$ con $Z=\{ t_0\leq t \leq t_0 + a, \ |x-x_0| \leq b \} \subset G$, allora la soluzione esiste per ogni $t in [t_0, t_0 + d]$ dove definisco:
$$ d=\min\{a,\dfrac{b}{M}\}, \qquad M=\max_{Z} |F(t,x)|$$
Dimostrazione
Costruisco una spezzata (broken line) che converge alla soluzione.
Chiamo:
$$h_k = \dfrac{d}{k} \qquad t_{ki} = t_0 + i h_k$$
Nel costruire la successione a seguire c'è la parte che non ho ben capito.
Si costruisce la seguente successione $x_k (t)$
Suppongo $x_k (t_{k0}) = x_0.$
Se per qualche $i \geq 0$, il valore $x_k (t_{ki})=x_{ki}$ è gia definito e $$ |x_{ki}-x_{0} | \leq M |t_{ki} - t_0|,$$ allora prendendo $v_{ki} \in F(t_{ki}, x_{ki})$ definisco per $t_{ki} < t \leq t_{k,i+1}$ :
$$x_k (t) = x_0 + (t-t_{ki}) v_{ki} $$
LA DOMANDA ORA E' QUESTA.
Se sto definendo io questa successione $x_k$ cosa significa "Se per qualche $i \geq 0$ il valore $ x_k (t_{ki}) = x_{ki}$ è gia definito????Cioè dico io sto costruendo questa successione quindi che valore deve assumere $x_{ki}$?
Allora enuncio il teorema e scrivo la dimostrazione (è in inglese ma la traduco):
Sia $F(t,x)$ una multifunzione definita in un dominio $G$ tale che $F(t,x)$ è superiormente semicontinua in $t,x$, $F(t,x)$ è limitato, non vuoto, chiuso e convesso. Allora la soluzione dell'inclusione differenziale $\dot{x} \in F(t,x)$ con $x(t_0) = x_0$ esiste.
Inoltre se esiste un cilindro $Z \subset G$ con $Z=\{ t_0\leq t \leq t_0 + a, \ |x-x_0| \leq b \} \subset G$, allora la soluzione esiste per ogni $t in [t_0, t_0 + d]$ dove definisco:
$$ d=\min\{a,\dfrac{b}{M}\}, \qquad M=\max_{Z} |F(t,x)|$$
Dimostrazione
Costruisco una spezzata (broken line) che converge alla soluzione.
Chiamo:
$$h_k = \dfrac{d}{k} \qquad t_{ki} = t_0 + i h_k$$
Nel costruire la successione a seguire c'è la parte che non ho ben capito.
Si costruisce la seguente successione $x_k (t)$
Suppongo $x_k (t_{k0}) = x_0.$
Se per qualche $i \geq 0$, il valore $x_k (t_{ki})=x_{ki}$ è gia definito e $$ |x_{ki}-x_{0} | \leq M |t_{ki} - t_0|,$$ allora prendendo $v_{ki} \in F(t_{ki}, x_{ki})$ definisco per $t_{ki} < t \leq t_{k,i+1}$ :
$$x_k (t) = x_0 + (t-t_{ki}) v_{ki} $$
LA DOMANDA ORA E' QUESTA.
Se sto definendo io questa successione $x_k$ cosa significa "Se per qualche $i \geq 0$ il valore $ x_k (t_{ki}) = x_{ki}$ è gia definito????Cioè dico io sto costruendo questa successione quindi che valore deve assumere $x_{ki}$?
Risposte
E' una costruzione per induzione.
Parti da \(x_{k0}\), costruisci \(x_{k1}\), poi \(x_{k2}\), etc.
Se supponi di avere già definito (cioè costruito) \(x_{ki}\), definisci \(x_{k,i+1}\) col metodo indicato.
Parti da \(x_{k0}\), costruisci \(x_{k1}\), poi \(x_{k2}\), etc.
Se supponi di avere già definito (cioè costruito) \(x_{ki}\), definisci \(x_{k,i+1}\) col metodo indicato.
"Rigel":
E' una costruzione per induzione.
Parti da \(x_{k0}\), costruisci \(x_{k1}\), poi \(x_{k2}\), etc.
Se supponi di avere già definito (cioè costruito) \(x_{ki}\), definisci \(x_{k,i+1}\) col metodo indicato.
Ah grazie era più facile di quanto pensavo ahah. Grazie mille ora tutto chiaro
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