Aiuto studio integrale razionale fratto
Ciao a tutti, vorrei chiedervi aiuto col seguente esercizio:
$\int1/(x^2+x+1) dx$ ... al denominatore assomiglia ad un quadrato quindi ho aggiunto e tolto $x$ per poter raccogliere ed ottenere: $\int1/(x^2+x+x+1-x) dx =\int1/(x^2+2x+1-x) dx=\int1/((x+1)^2-x) dx$. In questo caso come procedo?
Ho provato a sostituire $t= (x+1)^2; t=(x+1)$ ed altre cose piu' "immaginarie" ma non sono riuscito a trovare la soluzione.. potete darmi un consiglio?
$\int1/(x^2+x+1) dx$ ... al denominatore assomiglia ad un quadrato quindi ho aggiunto e tolto $x$ per poter raccogliere ed ottenere: $\int1/(x^2+x+x+1-x) dx =\int1/(x^2+2x+1-x) dx=\int1/((x+1)^2-x) dx$. In questo caso come procedo?
Ho provato a sostituire $t= (x+1)^2; t=(x+1)$ ed altre cose piu' "immaginarie" ma non sono riuscito a trovare la soluzione.. potete darmi un consiglio?
Risposte
dovresti completarlo il quadrato ...
\begin{align*}
\int \frac{1}{x^2+x+1}\,\,dx=\int \frac{1}{\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}}\,\,dx
\end{align*}
da qui ...dovrebbe dirti qualcosa...
\begin{align*}
\int \frac{1}{x^2+x+1}\,\,dx=\int \frac{1}{\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}}\,\,dx
\end{align*}
da qui ...dovrebbe dirti qualcosa...
grazie della risposta ma ho un dubbio:
La formula del complettamento del quadrato dice:
$ax^2+bx= (\sqrt(a)x+b/(2\sqrt(a)))^2-b^2 /(4a)$ ossia nel mio caso:
$(\sqrt(1)x +1/(2\sqrt(1)))^2-1^2 /(4*1)= (x+1/2)^2-1/4$ ... perchè a me viene sbagliato?
Ho preso la formula da wikipedia..
La formula del complettamento del quadrato dice:
$ax^2+bx= (\sqrt(a)x+b/(2\sqrt(a)))^2-b^2 /(4a)$ ossia nel mio caso:
$(\sqrt(1)x +1/(2\sqrt(1)))^2-1^2 /(4*1)= (x+1/2)^2-1/4$ ... perchè a me viene sbagliato?
Ho preso la formula da wikipedia..
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