Aiuto studio funzione $ln(3x^2+4x+2)$

[BoG3]

ciao a tutti,
ho da farmi alcune domande sullo studio della funzione $f(x)=ln(3x^2+4x+2)$.
Io sono partito definendo il dominio:
$f(x)$ esiste solo quando l'argomento del logaritmo è maggiore di zero, quindi quando: $3x^2+4x+2 >0$, siccome il discriminante è minore di zero ho che non ha soluzioni in $RR$ quindi non interseca mai l'asse $X$ e quindi è sempre positiva! Quindi il campo di esstenza è valido $AAx\inRR$.
Anche se l'argomento del logaritmo non interseca l'asse $X$, il logaritmo lo fa, in $x=1$ ovvero quando $3x^2+4x+2 =1$, usa la formula (che non ricordo come si chiama) per risolvere le equazioni di secondo grado ed ottengo:
$3x^2+4x+2 =1$
$3x^2+4x+1 =0$

$x_(1,2) = (-4\(+-)sqrt(4^2-4*3*1))/(2*3) = (-4\+-2)/6$ così ottengo le 2 soluzioni: $x=-1$ e $x=-3$
quindi ho che la funzione interseca l'asse delle $X$ in $x=-1$ e $x=-3$
invece interseca l'asse $Y$ in $ln(3(0)^2+4(0)+2) = ln(2)$
Controllo quando la funzione è maggiore di zero:

$f(x)>0 \iff ln(3x^2+4x+2) \iff 3x^2+4x+2 >1 \iff 3x^2+4x+1 >0$. Siccome è la stessa equazione che ho studiato sopra e ho visto che non tocca l'asse $X$ concludo che manco qua ha ragione di farlo e che quindi la mia funzione è sempre positiva.
Ehm... ma se sopra ho trovato k interseca l'asse $X$ in $x=-1$ e $x=-3$ ??
Calcolo i limiti per $\+-\infty$, per cominciare:
$lim_(x\to+\infty)ln(3x^2+4x+2) = +\infty$
$lim_(x\to-\infty)ln(3x^2+4x+2) = ln(x^2(3+4/x+2/x))=+\infty$
Bah... sinceramente , vedere che tende a infinito ai 2 lati mi fa pensare ad una specie di parabola. Comunque studio anche il segno della derivata prima:
$f'(x)=(6x+4)/(3x^3+4x+2)$ per vedere se ha dei punti di minimo o massimo studio quando è uguale a zero:
$f'(x)=(6x+4)/(3x^3+4x+2)=0$ solo quando il numeratore è uguale a zero, quindi $6x+4=0$, da cui $x=-2/3$
Quindi $x=-2/3$ è un punto di max o min, per vedere quale dei due studio quando $f'(x) < 0$ e $>0$ anche se .. penso si tratti di un punto di minimo dato che sembra si tratti di una parabola con un solo punto dove $f'(x)=0$, deve per forza essere un punto di minimo. Comunque studio quando $f'(x) > 0$:
$f'(x)=(6x+4)/(3x^3+4x+2)>0$ solo quando $3x^2+4x+2>0$, e $(6x+4)>0$:
Studio numeratore e denominatore:
Numeratore:
$(6x+4)>0$, $x> -4/6=-3/2$
Denominatore: sempre positivo!
Quindi da $-\infty$ a $-2/3$ la funzione decresce, dopo cresce.
Vedo che valore assume in $x=-2/3$:
$f(-2/3)=ln(3(-2/3)^2+4(-2/3)+2)= ln(-12/9 -8/3+2)=ln(6/9)=ln(2/3)$
Pero' $ln(2/3)<0$ quindi la funzione dovrebbe intersecare in 2 punti l'asse $X$, cosa che io sopra avevo escluso... ?? dove ho sbagliato?

[chiaraotta1]

"BoG":.....dove ho sbagliato?

$3x^2+4x+1 =0-> x=-1/3 vv x=-1$

$3x^2+4x+1 >0-> x<-1/3 vv x> -1$

$f'(x)=(6x+4)/(3x^2+4x+2)=2(3x+2)/(3x^2+4x+2)$

[giuscri]

"BoG":$f(x)$ esiste solo quando l'argomento del logaritmo è maggiore di zero, quindi quando: $3x^2+4x+2 >0$, siccome il discriminante è minore di zero ho che non ha soluzioni in $RR$ quindi non interseca mai l'asse $X$ e quindi è sempre positiva! Quindi il campo di esstenza è valido $AAx\inRR$.

$x_(1,2) = (-4\(+-)sqrt(4^2-4*3*1))/(2*3) = (-4\+-2)/6$ così ottengo le 2 soluzioni: $x=-1$ e $x=-3$
quindi ho che la funzione interseca l'asse delle $X$ in $x=-1$ e $x=-3$
Controllo quando la funzione è maggiore di zero:

$f(x)>0 \iff ln(3x^2+4x+2) \iff 3x^2+4x+2 >1 \iff 3x^2+4x+1 >0$. Siccome è la stessa equazione che ho studiato sopra e ho visto che non tocca l'asse $X$ concludo che manco qua ha ragione di farlo e che quindi la mia funzione è sempre positiva.
Ehm... ma se sopra ho trovato k interseca l'asse $X$ in $x=-1$ e $x=-3$ ??

$3x^2 + 4x + 2 > 0$, $\forall x \in RR$.

$3x^2 + 4x + 1$ è un'altra funzione.