Aiuto studio di funzione

[Robert9669]

Salve ragazzi sto facendo degli esercizi sullo studio di funzioni volevo chiedervi se potete seguirmi nello studio di questa....$ D: x>0 ,ln(x)-1!=0 $ho ancora problemi quando ci sono di mezzo logaritmi specie al denominatore ) : $ x^2/(ln(x)-1) $

Allora per il dominio ho fatto denominatore diverso da 0 e argomento del log >0
$ D: x>0 ,ln(x)-1!=0 $

Mi sono bloccato perchè sul libro dice che dovrebbe essere
$ D : (0,+oo )\\ (e) $
e non capisco il perchè del \(e) cè come fa a venire fuori(ovviamente dal ln(x)-1 !=0 ma non capisco il perchè...scusate l'ignoranza )

[Magma1]

"Robert9669":

$ D: x>0 ,ln(x)-1!=0 $

Mi sono bloccato perchè sul libro dice che dovrebbe essere
$ D : (0,+oo )\\ (e) $
e non capisco il perchè del \(e) cè come fa a venire fuori(ovviamente dal ln(x)-1 !=0 ma non capisco il perchè...scusate l'ignoranza )

Per vedere quando $ln(x)-1 ne 0$ proviamo a vedere quando è uguale a zero:

$ln(x)=1 hArr e^(ln(x))=e^1 hArr x=e$

Pertanto $ln(x)-1 ne 0$ per $x ne e$

[Robert9669]

Ahhh grandissimo!Non ricordavo quel passaggio!Comunque da questo sono andato avanti col segno:

Sopra è sempre positiva quindi sarà:

$ f(x)>0 rArr ln(x)-1 >0 rArr x>e $ (perchè se è uguale a e fa 0(giusto?))

$ f(x)<0 rArr ln(x)-1 <0 rArr x

Dopodichè ho fatto i limiti:
$ lim_(x -> 0) x^2/(ln(x)-1) = 0 $ (perchè verrebbe che il log va a -infinito quindi 0/-infinito = 0)

$ lim_(x ->oo ) x^2/(ln(x)-1) = oo $ sarebbe infinito su infinito ma con l'hopital verrebbe $ lim_(x -> oo) (2x)/(1/x) =oo $

$ lim_(x ->e^+ ) x^2/(ln(x)-1) = 1/0^+ = oo $

$ lim_(x ->e^- ) x^2/(ln(x)-1) = 1/0^- = -oo $


E mi sono bloccato Allo studio della derivata prima:

$ f = x^2/(ln(x)-1) $

$ f' = (2x(ln(x) -1) - x^2(1/x))/((ln(x)-1)^2 $

$ f' = (2x(ln(x) -1) - x)/((ln(x)-1)^2 $

mi era venuto in mente di fare
$ f' = (x(2ln(x) -2) - x)/((ln(x)-1)^2 $ ma non so se sia giusto e neanche come andare avanti nel caso lo sia

[Magma1]

"Robert9669":Ahhh grandissimo!Non ricordavo quel passaggio!Comunque da questo sono andato avanti col segno:

Sopra è sempre positiva quindi sarà:

$ f(x)>0 rArr ln(x)-1 >0 rArr x>e $ (perchè se è uguale a e fa 0(giusto?))

$ f(x)<0 rArr ln(x)-1 <0 rArr x

Perché pensi che sia sbagliato?

Pensa alla funzione $f(t)=1/t$: quando è positiva e quando è negativa?

"Robert9669":
Dopodichè ho fatto i limiti:
$ lim_(x -> 0) x^2/(ln(x)-1) = 0 $ (perchè verrebbe che il log va a -infinito quindi 0/-infinito = 0)

$ lim_(x ->oo ) x^2/(ln(x)-1) = oo $ sarebbe infinito su infinito ma con l'hopital verrebbe $ lim_(x -> oo) (2x)/(1/x) =oo $

$ lim_(x ->e^+ ) x^2/(ln(x)-1) = 1/0^+ = oo $

$ lim_(x ->e^- ) x^2/(ln(x)-1) = 1/0^- = -oo $

, quindi puoi dedurre anche la presenza di un asintoto verticale

"Robert9669":
E mi sono bloccato Allo studio della derivata prima:

$ f = x^2/(ln(x)-1) $

$ f' = (2x(ln(x) -1) - x^2(1/x))/((ln(x)-1)^2 $

$ f' = (2x(ln(x) -1) - x)/((ln(x)-1)^2 $

mi era venuto in mente di fare
$ f' = (x(2ln(x) -2) - x)/((ln(x)-1)^2 $ ma non so se sia giusto e neanche come andare avanti nel caso lo sia

Ok, la derivata è giusta (anche se andrebbe prima discusso quale sia l'insieme di derivabilità!); però io metterei in evidenza la $x$:

$ f' =(x[2(ln(x) -1) - 1])/((ln(x)-1)^2)=(x[2ln(x) -3])/((ln(x)-1)^2) =0$

Il denominatore è sempre positivo[nota]Basta immaginare $ln(x)=s rArr (s-1)^2=0$ che si annullerebbe solo per $s=1 hArr x=e$[/nota]

Il numinatore $(x[2ln(x) -3])=0 if x=0 vv 2ln(x) -3=0$,
ovviamente il caso $x=0$ non lo prendiamo nemmeno in considerazione! (perché?)

Quindi rimane $2ln(x) -3=0 hArr ln(x)=3/2 hArr x=e^(3/2)$

[Robert9669]

ok quindi a questo punto(se non sbaglio) visto che in x = e^3/2 si annulla la derivata avrei che
$ f'(x)>0 rArr x> e^(3/2) $
$ f'(x)<0 rArr x< e^(3/2) $
quindi se prima è negativa e dopo è positiva $ x=e^(3/2) $ sarebbe un minimo relativo?

(x = 0 non lo prendiamo in considerazione perchè l'abbiamo escluso dal dominio(vero? xD )
e poi dovrei aver finito

[Magma1]

"Robert9669":ok quindi a questo punto(se non sbaglio) visto che in x = e^3/2 si annulla la derivata avrei che
$ f'(x)>0 rArr x> e^(3/2) $
$ f'(x)<0 rArr x< e^(3/2) $

Per la disequazione è diverso, bisogna tener conto anche della $x$; si ha quindi:

$f'(x)>0$ se

$x>0 vv x>e^(3/2)$

$hArr x<0 ^^ x>e^(3/2)=(-oo,0)uu(e^(3/2),+oo)$

Intersecando questo risultato con il dominio $[(-oo,0)uu(e^(3/2),+oo) ] nn [(0,e)uu(e,+oo)]=(e^(3/2),+oo)$


$f'(x)<0$ se

$0

Analogamente a prima $(0,e^(3/2))nn [(0,e)uu(e,+oo)]=(e^(3/2),+oo)=(0,e)uu(e,e^3/2)$

Quindi

$f$ è crescente nell'intervallo $(e^(3/2),+oo)$ ed è decrescente nell'intervallo $(0,e)$ e nell'intervallo $(e,e^3/2)$

"Robert9669":
quindi se prima è negativa e dopo è positiva $ x=e^(3/2) $ sarebbe un minimo relativo?

($x = 0$ non lo prendiamo in considerazione perché l'abbiamo escluso dal dominio(vero? xD )

"Robert9669":e poi dovrei aver finito

Mancherebbe la concavità

Cita

Segnala

[Robert9669]

Allora non ho capito il ragionamento dietro questo passaggio

$x>0 vv x>e^(3/2)$

$hArr x<0 ^^ x>e^(3/2)=(-oo,0)uu(e^(3/2),+oo)$

Per la concavità non so se riuscirei a fare quella derivata seconda ma ci provo...

Derivata del numeratore che è un prodotto x il secondo non derivato - ecc ecc..
$ (2ln(x)-3+x(2/x)*(ln(x)-1)^2-(x[ln(x)-3])*2(ln(x)-1)*1/x)/(ln(x)-1)^4 $

e ora qualsiasi cosa facessi sbaglierei xD(a meno che non abbia già sbagliato cosa più probabile )

[Magma1]

"Robert9669":Allora non ho capito il ragionamento dietro questo passaggio

$x>0 vv x>e^(3/2)$

Ho detto una cavolata io! Infatti il $ln(x)$ impone $x>0$ quindi

Quindi $2ln(x)−3>0 if x in (e^(3/2),+oo)$ e minore di zero in $(0, e^(3/2))$


Ricapitolando

$f'(x)$ è ${ (>0 if x in (e^(3/2),+oo) ),( <0 if (0,e)∪(e,e^(3/2)) ):}$

cioè $f$ è crescente nell'intervallo $(e^(3/2),+oo)$ ed è decrescente nell'intervallo $(0,e)$ e nell'intervallo $(e,e^(3/2))$

"Robert9669":
Per la concavità non so se riuscirei a fare quella derivata seconda ma ci provo...

Derivata del numeratore che è un prodotto x il secondo non derivato - ecc ecc..
$ (2ln(x)-3+x(2/x)*(ln(x)-1)^2-(x[ln(x)-3])*2(ln(x)-1)*1/x)/(ln(x)-1)^4 $

e ora qualsiasi cosa facessi sbaglierei xD(a meno che non abbia già sbagliato cosa più probabile )

Quasi giusto, ti sei dimenticato un $2$ e una parentesi

Comunque, proviamo a semplificarne l'espressione escludendo, per semplicità e in un primo memento, il denominatore:

$((2ln(x)-3+x(2/x))*(ln(x)-1)^2-(x[2ln(x)-3])*2(ln(x)-1)*1/x$

$=[(2ln(x)-1)*(ln(x)-1)^2-([2ln(x)-3])*2(ln(x)-1)]$

Poniamo $ln(x)=w$ in modo da avere maggior chiarezza nella scrittura

$=[(2w-1)*(w-1)^2-([2w-3])*2(w-1)]$

$=[(2w-1)*(w-1)(w-1)-([2w-3])*2(w-1)]$

$=(w-1)*{(2w-1)*(w-1)-(2*[2w-3])}$

$=(w-1)*{2w^2-2w-w+1-4w+6}$

$=(w-1)*{2w^2-7w+7}$

Ricordando che $w=ln(x)$

$=(ln(x)-1)*[2ln^2(x)-7ln(x)+7)]$

Quindi si ha

$( (ln(x)-1)*[2ln^2(x)-7ln(x)+7])/(ln(x)-1)^4 = (2ln^2(x)-7ln(x)+7)/(ln(x)-1)^3$

Pertanto

$f''(x)=(2ln^2(x)-7ln(x)+7)/(ln(x)-1)^3>0$

Il numeratore è sempre positivo (perché? )

Mentre il denominatore ormai sappiamo che è maggiore di zero per $x>e$

Qundi

$f''(x)\text{ è }{ ( >0 if x in(e,+oo) ),( <0 if x in (0,e)):}$

[Robert9669]

"Magma":
Pertanto

$ f''(x)=(2ln^2(x)-7ln(x)+7)/(ln(x)-1)^3>0 $

Il numeratore è sempre positivo (perché? )

Mentre il denominatore ormai sappiamo che è maggiore di zero per $ x>e $

Qundi

$ f''(x)\text{ è }{ ( >0 if x in(e,+oo) ),( <0 if x in (0,e)):} $

Perfetto dovrebbe essere tutto chiaro (devo solo prendere la mano coi calcoli) grazie mille per l'aiuto!
Comunque il numeratore è sempre positivo perchè il primo ln è sempre > del secondo ?