Aiuto spiegazione integrale lemma di jordan
Leggendo un capitolo di una dispensa sulla anti trasformata di fourier mi sono imbattuto nel seguente integrale:
$1/(2\pii)lim_(R->\infty) int_-R^R [e^(2 i k a)/k -1/k ]dk$ dove il testo spiega che "deformando" il percorso di integrazione in modo da scavalcare la singolarità e chiudendo la curva nel semipiano positivo il primo termine dell'integrale, per il lemma di jordan, è nullo.
Vero che all'interno della curva la funzione è olomorfa quindi l'integrale è 0 ma la curva che chiamo$\gamma_\epsilon$ che scavalca la singolarità che ha raggio infinitamente piccolo lascia come residuo 1/2! ...o sbaglio?
poi nel calcolare il secondo pezzo dell'integrale $1/k$ giustamente i 2 rami $[-R -\epsilon] , [\epsilon,R]$ si elidono e rimane il calcolo della curva $\gamma_\epsilon$ che fa 1/2 e conclude osservando che nella discontinuità di prima specie il risultato è la media......
ma quello che non capisco è perchè il primo pezzo dell'integrale è nullo?...ovvero $1/(2\pii)lim_(R->\infty) int_-R^R [e^(2 i k a)/k ]dk$
grazie
$1/(2\pii)lim_(R->\infty) int_-R^R [e^(2 i k a)/k -1/k ]dk$ dove il testo spiega che "deformando" il percorso di integrazione in modo da scavalcare la singolarità e chiudendo la curva nel semipiano positivo il primo termine dell'integrale, per il lemma di jordan, è nullo.
Vero che all'interno della curva la funzione è olomorfa quindi l'integrale è 0 ma la curva che chiamo$\gamma_\epsilon$ che scavalca la singolarità che ha raggio infinitamente piccolo lascia come residuo 1/2! ...o sbaglio?
poi nel calcolare il secondo pezzo dell'integrale $1/k$ giustamente i 2 rami $[-R -\epsilon] , [\epsilon,R]$ si elidono e rimane il calcolo della curva $\gamma_\epsilon$ che fa 1/2 e conclude osservando che nella discontinuità di prima specie il risultato è la media......
ma quello che non capisco è perchè il primo pezzo dell'integrale è nullo?...ovvero $1/(2\pii)lim_(R->\infty) int_-R^R [e^(2 i k a)/k ]dk$
grazie
Risposte
[quote="kaimano"
Vero che all'interno della curva la funzione è olomorfa quindi l'integrale è 0 ma la curva che chiamo$\gamma_\epsilon$ che scavalca la singolarità che ha raggio infinitamente piccolo lascia come residuo 1/2! ...o sbaglio?
[/quote]
Parlando in modo informale, quando hai l'integrale su una curva chiusa nel piano complesso, questo è uguale al resto calcolato con i residui.
Se ho capito bene tu stai integrando su una curva chiusa che non ha singolarità al suo interno, quindi residuo 0.
La somma di tutti gli integrali, sui pezzi della curva fa 0.
Vero che all'interno della curva la funzione è olomorfa quindi l'integrale è 0 ma la curva che chiamo$\gamma_\epsilon$ che scavalca la singolarità che ha raggio infinitamente piccolo lascia come residuo 1/2! ...o sbaglio?
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Parlando in modo informale, quando hai l'integrale su una curva chiusa nel piano complesso, questo è uguale al resto calcolato con i residui.
Se ho capito bene tu stai integrando su una curva chiusa che non ha singolarità al suo interno, quindi residuo 0.
La somma di tutti gli integrali, sui pezzi della curva fa 0.
scusa ma la curva di raggio $\epsilon$ sul cammino deformato in x=0 non da 1/2? per $\epsilon->0$ è questo che non capisco
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