Aiuto spazi di fourier!!
ciao a tutti!!! 
mercoledì ho un bell'esamino di fisica matematica ma ancora non mi è chiaro che cosa rappresenti geometricamente lo sapzio della trasformata di fourier,perchè in L2 si usi a volte l'espansione in serie e perchè invece altre volte l'espressione integrale..si lo so che diagonalizza l'operatore di derivazione,che è un L2-isomorfismo,che regolarizza punzioni piccate e tutte queste belle proprietà ma non riesco a visualizzarlo bene. Ho provato a visualizzarlo per quel poco di meccanica quantistica che ho fatto,come lo spazio dei numeri d'onda ma è ancora tutto molto buio.Cerco aiuto filosofico perchè la sua potenza nel semplificare problemi differenziali la maneggio abbastanza bene.Grazie!!
mercoledì ho un bell'esamino di fisica matematica ma ancora non mi è chiaro che cosa rappresenti geometricamente lo sapzio della trasformata di fourier,perchè in L2 si usi a volte l'espansione in serie e perchè invece altre volte l'espressione integrale..si lo so che diagonalizza l'operatore di derivazione,che è un L2-isomorfismo,che regolarizza punzioni piccate e tutte queste belle proprietà ma non riesco a visualizzarlo bene. Ho provato a visualizzarlo per quel poco di meccanica quantistica che ho fatto,come lo spazio dei numeri d'onda ma è ancora tutto molto buio.Cerco aiuto filosofico perchè la sua potenza nel semplificare problemi differenziali la maneggio abbastanza bene.Grazie!!
Risposte
sinceramente non ho capito bene in che contesto siamo 
... però se ti riferisci alla meccanica quantistica puoi pensare ad una $psi(x)$ (ad una dimensione che è più semplice) il cui $int_a^b|psi|^2dx$ rappresenta la probabilità di trovare una particella in quell'intervallo .
Se fai la trasformata di Fourier della $psi(x)$ ottieni un nuovo vettore di stato con la proprietà che $|Fpsi(x)|^2$ rappresenta la densità di probabilità della particella di avere una certo momento. (ho usato F per indicare l'operatore trasformata di Fourier)
Ovviamente il nuovo vettore $psi(p)$ corrisponde al vecchio vettore di stato $psi(x)$ espresso nella nuova base dei momenti...
Quindi in questo contesto lo spazio della trasformata lo puoi vedere come lo spazio delle p.
Per il fatto dello sviluppo integrale o in serie, il tutto dipende dall'operatore...se ha spettro continuo uso la rappresentazione integrale, se ha spettro discreto uso lo sviluppo in serie...
spero di non aver detto cose che non centrano niente
... però se ti riferisci alla meccanica quantistica puoi pensare ad una $psi(x)$ (ad una dimensione che è più semplice) il cui $int_a^b|psi|^2dx$ rappresenta la probabilità di trovare una particella in quell'intervallo .Se fai la trasformata di Fourier della $psi(x)$ ottieni un nuovo vettore di stato con la proprietà che $|Fpsi(x)|^2$ rappresenta la densità di probabilità della particella di avere una certo momento. (ho usato F per indicare l'operatore trasformata di Fourier)
Ovviamente il nuovo vettore $psi(p)$ corrisponde al vecchio vettore di stato $psi(x)$ espresso nella nuova base dei momenti...
Quindi in questo contesto lo spazio della trasformata lo puoi vedere come lo spazio delle p.
Per il fatto dello sviluppo integrale o in serie, il tutto dipende dall'operatore...se ha spettro continuo uso la rappresentazione integrale, se ha spettro discreto uso lo sviluppo in serie...
spero di non aver detto cose che non centrano niente
ma questo spazio dei momenti e lo stesso spazio di partenza semplicemente visto in un'altra base? perchè visto che alla fine la derivata diventa operatore posizione nello spazio dei momenti e viceversa io ho ragionato facendo ricorso alla geometria differenziale..mi spiego: se ho una varietà differenziabile lineare essa coincide con il suo spazio tangente ed una base per il suo spazio tangente(che quindi ne identifica la posizione in tale spazio) è dato dalle derivate di una parametrizzazione, questa base è inoltre base per lo spazio iniziale perchè nel caso lineare coincidono e quindi alla fine è semplicemente un cambio di base..ovviamente questo accade se e solo se la varietà è lineare...ora anche lo spazio delle funzioni è lineare quindi mi domando posso identificare lo spazio tangente con quello dei momenti? cioè con la trasformata di fourier associo ad ogni vettore funzione un vettore di derivazione?
alla prima domanda ti rispondo di si...ovvero che è sempre lo stesso spazio di Hilbert solo che consideri una base diversa...
alla seconda non posso risponderti in maniera esauriente poichè non conosco molto bene la geometria differenziale...posso solo dirti che i vettori della base delle x e i vettori della base delle p non sono ortogonali (visto che sono dei vettori di base)...
ti consiglio però di non cercare di visualizzare gli spazi di Hilbert utilizzando la geometria differenziale perchè potrebbe confondere le idee ancora di più...
alla seconda non posso risponderti in maniera esauriente poichè non conosco molto bene la geometria differenziale...posso solo dirti che i vettori della base delle x e i vettori della base delle p non sono ortogonali (visto che sono dei vettori di base)...
ti consiglio però di non cercare di visualizzare gli spazi di Hilbert utilizzando la geometria differenziale perchè potrebbe confondere le idee ancora di più...
ciao a tutti!!
chi mi sa dire perchè nella dimostrazione del teorema di Ehrenfest all'ultimo passaggio l'operatore $Vnabla - nablaV$ diventa $-nablaV$ ???
chi mi sa dire perchè nella dimostrazione del teorema di Ehrenfest all'ultimo passaggio l'operatore $Vnabla - nablaV$ diventa $-nablaV$ ???
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