Aiuto soluzione teorema di cauchy
Salve a tutti,
di seguito vi riporto un esercizio sulle equazioni differenziali del primo ordine con soluzione parziale perchè non so bene come risolvere l'ultimo punto.
Vi ringrazio anticipatamente.
Determinare l'integrale generale dell'equazione:
$y^{\prime}+1/t*y=3*t^2$ in (0, +inf)
essendo un'equazione lineare e non omogenea applico la formula :
$y(t)= e^(-A(t))$ $inte^(A(t))b(t)dt$
prendendo come primitiva $A(x)= log(t)$
sostituendo e calcolando ottengo: $y(t)=-(3/2)t^3 +c$
Successivamente l'esercizio chiede di determinare la soluzione del problema di Cauchy con la condizione $y(1)=a$ con a parametro reale.
quindi vado a sostituire nell'integrale generale ottenuto:
$a=-(3/2)*1 +c$
quindi c risulta:
$c=a+(3/2)
Infine, l'esercizio chiede di determinare se esiste un valore di a per cui $y(t)$ ammetta limite finito per t che tende a zero da destra.. e qui mi sono bloccata
grazie
di seguito vi riporto un esercizio sulle equazioni differenziali del primo ordine con soluzione parziale perchè non so bene come risolvere l'ultimo punto.
Vi ringrazio anticipatamente.
Determinare l'integrale generale dell'equazione:
$y^{\prime}+1/t*y=3*t^2$ in (0, +inf)
essendo un'equazione lineare e non omogenea applico la formula :
$y(t)= e^(-A(t))$ $inte^(A(t))b(t)dt$
prendendo come primitiva $A(x)= log(t)$
sostituendo e calcolando ottengo: $y(t)=-(3/2)t^3 +c$
Successivamente l'esercizio chiede di determinare la soluzione del problema di Cauchy con la condizione $y(1)=a$ con a parametro reale.
quindi vado a sostituire nell'integrale generale ottenuto:
$a=-(3/2)*1 +c$
quindi c risulta:
$c=a+(3/2)
Infine, l'esercizio chiede di determinare se esiste un valore di a per cui $y(t)$ ammetta limite finito per t che tende a zero da destra.. e qui mi sono bloccata
grazie
Risposte
Mi sa che non torna. Non dovresti avere $A(t)=\log t$, $b(t)=3 t^2$ e quindi
$\int e^{A(t)}\ 3t^2\ dt=\int 3t^3\ dt=\frac{3}{4} t^4$?
Quindi la soluzione è
$y(t)=\frac{1}{t}\left[\frac{3}{4} t^4+c]=\frac{3}{4} t^3+\frac{c}{t}$.
A questo punto $a=\frac{3}{4}+c$ da cui $c=a-\frac{3}{4}$.
Per la seconda domanda nota che la soluzione corretta ha una $t$ a denominatore: la domanda è allora "per quale $k=a-\frac{3}{4}$ il limite destro per $t$ che tende a zero di $y(t)$ esiste finito? Visto che $\lim_{t\rightarrow 0^+} \frac{k}{t}=\infty$ per $k\ne 0$ ed è uguale a zero per $k=0$, la risposta che cerchi è: per $a=3/4$.
$\int e^{A(t)}\ 3t^2\ dt=\int 3t^3\ dt=\frac{3}{4} t^4$?
Quindi la soluzione è
$y(t)=\frac{1}{t}\left[\frac{3}{4} t^4+c]=\frac{3}{4} t^3+\frac{c}{t}$.
A questo punto $a=\frac{3}{4}+c$ da cui $c=a-\frac{3}{4}$.
Per la seconda domanda nota che la soluzione corretta ha una $t$ a denominatore: la domanda è allora "per quale $k=a-\frac{3}{4}$ il limite destro per $t$ che tende a zero di $y(t)$ esiste finito? Visto che $\lim_{t\rightarrow 0^+} \frac{k}{t}=\infty$ per $k\ne 0$ ed è uguale a zero per $k=0$, la risposta che cerchi è: per $a=3/4$.
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