Aiuto serie numerica(esercizio)
ecco qua l'esercizio
$\sum_{n=1}^{infty} 1/(n(n+3))+(n)/((n+1)!) = 1/3(\sum_{n=1}^{infty} 1/n-1/(n+3))+\sum_{n=1}^{infty}(n)/((n+1)!)$
ora come continuo??
converge a 0
devo calcolare la somma
$\sum_{n=1}^{infty} 1/(n(n+3))+(n)/((n+1)!) = 1/3(\sum_{n=1}^{infty} 1/n-1/(n+3))+\sum_{n=1}^{infty}(n)/((n+1)!)$
ora come continuo??
converge a 0
devo calcolare la somma
Risposte
Sicuro che converge a zero? Non mi torna.
[tex]$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}-\frac{1}{n+3}[/tex] è una serie telescopica, il modo migliore per determinarne la somma è scrivere le somme parziali per comprenderne l'andamento.
[tex]$\sum_{n=1}^\infty \frac{n}{(n+1)!} = \sum_{m=2}^\infty \frac{m-1}{m!}=\sum_{m=2}^\infty \frac{1}{(m-1)!}-\frac{1}{m!}[/tex] anche questa è una serie telescopica.
Ti faccio notare che ho posto [tex]m=n+1[/tex]. Se non ti è chiaro fammi un fischio!
[tex]$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}-\frac{1}{n+3}[/tex] è una serie telescopica, il modo migliore per determinarne la somma è scrivere le somme parziali per comprenderne l'andamento.
[tex]$\sum_{n=1}^\infty \frac{n}{(n+1)!} = \sum_{m=2}^\infty \frac{m-1}{m!}=\sum_{m=2}^\infty \frac{1}{(m-1)!}-\frac{1}{m!}[/tex] anche questa è una serie telescopica.
Ti faccio notare che ho posto [tex]m=n+1[/tex]. Se non ti è chiaro fammi un fischio!
non ci riesco non riesco a capire faccio le somme parziali ma non riesco a trovare la $S_n$
Le somme parziali della nostra serie possono essere scritto come segue:
[tex]$S_m=\sum_{n=1}^m a_n-a_{n+3}[/tex] con [tex]a_n= \frac{1}{n}[/tex]
Valutiamo [tex]S_6[/tex]:
[tex]S_6= a_1-a_4+a_2-a_5+a_3-a_6+a_4-a_7+a_5-a_8+a_6-a_9 =[/tex]
[tex]=a_1+a_2+a_3-a_7-a_8-a_9[/tex]
Sviluppando i conti per [tex]m=7[/tex] otteniamo invece:
[tex]S_7=a_1+a_2+a_3-a_8-a_9-a_{10}[/tex]
Generalizzando:
[tex]S_m=a_1+a_2+a_3-a_{m+1}-a_{m+2}-a_{m+3}=[/tex]
[tex]1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{m+1}-\frac{1}{m+2}-\frac{1}{m+3}[/tex]
Abbiamo ottenuto l'espressione generale delle somme parziali. Che mi sai dire ora? (spero che la spiegazione sia in qualche modo chiara)
[tex]$S_m=\sum_{n=1}^m a_n-a_{n+3}[/tex] con [tex]a_n= \frac{1}{n}[/tex]
Valutiamo [tex]S_6[/tex]:
[tex]S_6= a_1-a_4+a_2-a_5+a_3-a_6+a_4-a_7+a_5-a_8+a_6-a_9 =[/tex]
[tex]=a_1+a_2+a_3-a_7-a_8-a_9[/tex]
Sviluppando i conti per [tex]m=7[/tex] otteniamo invece:
[tex]S_7=a_1+a_2+a_3-a_8-a_9-a_{10}[/tex]
Generalizzando:
[tex]S_m=a_1+a_2+a_3-a_{m+1}-a_{m+2}-a_{m+3}=[/tex]
[tex]1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{m+1}-\frac{1}{m+2}-\frac{1}{m+3}[/tex]
Abbiamo ottenuto l'espressione generale delle somme parziali. Che mi sai dire ora? (spero che la spiegazione sia in qualche modo chiara)
ti ringranzio davvero tanto per l'aiuto
Ti ricordo che stiamo lavorando per il pezzo [tex]\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}-\frac{1}{n+3}[/tex] tralasciano per il momento l'altro pezzo (che dovrai risolvere da solo 
).
Abbiamo detto che:
[tex]$S_m=\sum_{n=1}^m a_n-a_{n+3}[/tex] con [tex]a_n= \frac{1}{n}[/tex]
Valutiamo [tex]S_6[/tex]:
[tex]S_6= a_1-a_{1+3}+a_2-a_{2+3}+a_3-a_{3+3}+a_4-a_{3+4}+a_5-a_{3+5}+a_6-a_{3+6} =[/tex]
[tex]= a_1-a_4+a_2-a_5+a_3-a_6+a_4-a_7+a_5-a_8+a_6-a_9 =[/tex]
[tex]=a_1+a_2+a_3-a_7-a_8-a_9=[/tex]
[tex]=a_1+a_2+a_3-a_{6+1}-a_{6+2}-a_{6+3}[/tex]
Per [tex]m=7[/tex] otteniamo invece:
[tex]S_7=a_1+a_2+a_3-a_{7+1}-a_{7+2}-a_{7+3}[/tex]
Metti a confronto [tex]S_6[/tex] e [tex]S_7[/tex], osserverai che i termini che variano sono gli ultimi tre e dipendono dai valori [tex]6[/tex] e [tex]7[/tex].
Cerchiamo di generalizzare, tenendo conto delle informazioni che abbiamo ottenuto con i passi precendenti.
[tex]S_m=a_1+a_2+a_3-a_{m+1}-a_{m+2}-a_{m+3}[/tex].
[Edit]: Ops avevo letto un messaggio diverso da quello che vedo ora...
).Abbiamo detto che:
[tex]$S_m=\sum_{n=1}^m a_n-a_{n+3}[/tex] con [tex]a_n= \frac{1}{n}[/tex]
Valutiamo [tex]S_6[/tex]:
[tex]S_6= a_1-a_{1+3}+a_2-a_{2+3}+a_3-a_{3+3}+a_4-a_{3+4}+a_5-a_{3+5}+a_6-a_{3+6} =[/tex]
[tex]= a_1-a_4+a_2-a_5+a_3-a_6+a_4-a_7+a_5-a_8+a_6-a_9 =[/tex]
[tex]=a_1+a_2+a_3-a_7-a_8-a_9=[/tex]
[tex]=a_1+a_2+a_3-a_{6+1}-a_{6+2}-a_{6+3}[/tex]
Per [tex]m=7[/tex] otteniamo invece:
[tex]S_7=a_1+a_2+a_3-a_{7+1}-a_{7+2}-a_{7+3}[/tex]
Metti a confronto [tex]S_6[/tex] e [tex]S_7[/tex], osserverai che i termini che variano sono gli ultimi tre e dipendono dai valori [tex]6[/tex] e [tex]7[/tex].
Cerchiamo di generalizzare, tenendo conto delle informazioni che abbiamo ottenuto con i passi precendenti.
[tex]S_m=a_1+a_2+a_3-a_{m+1}-a_{m+2}-a_{m+3}[/tex].
[Edit]: Ops avevo letto un messaggio diverso da quello che vedo ora...
lo gia risolto grazie a te 
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