Aiuto serie e successioni..
Ciao a tutti..devo fare un colloquio integrativo di Analisi e quindi non ricordo niente degli anni precedenti,avendo fatto l esame qualche anno fa..
Devo fare le serie e le successioni.
Ora,facendo qualche esercizio sulle serie,mi trovo che la serie
Sommatoria per n che va da 0 a n,di n^2/n! da zero.Io sono arrivato al risultato n+1/n^2,che e giusto,ma poi pero non riesco a capire come mai fa zero.La prof ha detto che mi devo studiare prima i limiti di successioni,ma non so dove mettere mano..
Puo essere che da zero per gli ordini di velocita dei limiti?
cioe 0/n = 0.E questo il caso?
Devo fare le serie e le successioni.
Ora,facendo qualche esercizio sulle serie,mi trovo che la serie
Sommatoria per n che va da 0 a n,di n^2/n! da zero.Io sono arrivato al risultato n+1/n^2,che e giusto,ma poi pero non riesco a capire come mai fa zero.La prof ha detto che mi devo studiare prima i limiti di successioni,ma non so dove mettere mano..
Puo essere che da zero per gli ordini di velocita dei limiti?
cioe 0/n = 0.E questo il caso?
Risposte
be se è una serie la somma sarà tra $0$ e $+\infty;$ poi il carattere della serie, ovvero la convergenza o meno, la studi considerando uno dei criteri per le serie a termini positivi, visto che la tua lo è; in particolare nel tuo caso il criterio del rapporto è il più indicato: allora hai che
\begin{align}\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{n^2}{n!}& \stackrel{Ratio}{\Longrightarrow}\lim_{n\to+\infty}\frac{a_n+1}{a_n}=\lim_{n\to+\infty}\frac{(n+1)^2}{(n+1)!}\cdot\frac{n!}{n^2}\\
&=\lim_{n\to+\infty}\frac{n^2+2n+1 }{n!(n+1) }\cdot\frac{n!}{n^2}\sim\lim_{n\to+\infty}\frac{ n^2}{ n!(n+1)}\cdot\frac{n!}{n^2}=\lim_{n\to+\infty}\frac{ 1}{ (n+1)} =0
poi se la tua domanda era un altra scusami, ma non l'ho capita!
\begin{align}\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{n^2}{n!}& \stackrel{Ratio}{\Longrightarrow}\lim_{n\to+\infty}\frac{a_n+1}{a_n}=\lim_{n\to+\infty}\frac{(n+1)^2}{(n+1)!}\cdot\frac{n!}{n^2}\\
&=\lim_{n\to+\infty}\frac{n^2+2n+1 }{n!(n+1) }\cdot\frac{n!}{n^2}\sim\lim_{n\to+\infty}\frac{ n^2}{ n!(n+1)}\cdot\frac{n!}{n^2}=\lim_{n\to+\infty}\frac{ 1}{ (n+1)} =0
poi se la tua domanda era un altra scusami, ma non l'ho capita!
Era n^2 e non il contrario..certo se riuscirei a scriverla anch io come hai fatto tu sarebbe meglio..Io comunque come dicevo prima,per arrivare a quel risultato,avevo usato il criterio del rapporto..era dopo che non mi so spiegare perche da 0..e li mi ha detto la prof che entrano in gioco i limiti..e questo che non riesco a capire..
Per esempio nel tuo esercizio,quando si arriva a lim di 2/(n+1),perche poi da tra 0 e 1?
Per esempio nel tuo esercizio,quando si arriva a lim di 2/(n+1),perche poi da tra 0 e 1?
ho corretto, scusami! in ogni caso li non c'è molto da dire.... $\frac{1}{\infty}\to 0$
Ma nel mio caso che l ho fatto leggermente diverso, diciamo mi e venuto meno intuitivo,
(n+1)/n^2,come mi accorgo che e 1 su infinito?Oppure devo guardare gli ordini di velocita?
In quanto (n+1) e meno veloce di n^2?
(n+1)/n^2,come mi accorgo che e 1 su infinito?Oppure devo guardare gli ordini di velocita?
In quanto (n+1) e meno veloce di n^2?
certo, in quanto
\[\lim_{n\to+\infty}\frac{n+1}{n^2}=0\]
PS il caso che ho fatto io è standar non intuitivo! per l'intuitività avrei potuto osservare che il termine generale della serie è infinitesimo di ordine sicuramente maggiore di $1$ e dunque converge...perchè $n!$ va all'infinito più velocemente di qualsiasi potenza di $n.$
\[\lim_{n\to+\infty}\frac{n+1}{n^2}=0\]
PS il caso che ho fatto io è standar non intuitivo! per l'intuitività avrei potuto osservare che il termine generale della serie è infinitesimo di ordine sicuramente maggiore di $1$ e dunque converge...perchè $n!$ va all'infinito più velocemente di qualsiasi potenza di $n.$
"Noisemaker":
PS il caso che ho fatto io è standar non intuitivo! per l'intuitività avrei potuto osservare che il termine generale della serie è infinitesimo di ordine sicuramente maggiore di $1$ e dunque converge...perchè $n!$ va all'infinito più velocemente di qualsiasi potenza di $n.$
Se e maggiore di 1 non dovrebbe divergere?
se va a zero di ordine maggiore di $1$ converge; non confondere il risultato del limite del criterio del rapporto(o della radice) che se viene $>1$ allora ti fa concludere che la serie diverge
E allora mi sa che non ho capito cos'è il termine generale della serie..e quando e infinitesimo.
il termine generale della serie è ciò ch sta scritto dopo il simbolo di sommatoria, cioè$\frac{n^2}{n!};$ poi per stabilire se è infinitesimo, basta verificare se per $n\to+\infty$ tende a $0$, cioè calcolare
\[\lim_{n\to+\infty}\frac{n^2}{n!} \]
e verificare che tenda a zero, cioè che sia infinitesimo; se tale condizione si verifica , allora la serie POTREBBE converge: infatti bisogna capire con che "velocità" (o ordine) va a zero, perche converge se va a zero con ordine maggiore di $1;$ allora per stabilirlo, ci sono diversi criteri (rapporto, radice confronto...); se quel limite non viene zero, qualsiasi cosa venga che sia diversa da zero, allora CERTAMENTE la serie diverge.
\[\lim_{n\to+\infty}\frac{n^2}{n!} \]
e verificare che tenda a zero, cioè che sia infinitesimo; se tale condizione si verifica , allora la serie POTREBBE converge: infatti bisogna capire con che "velocità" (o ordine) va a zero, perche converge se va a zero con ordine maggiore di $1;$ allora per stabilirlo, ci sono diversi criteri (rapporto, radice confronto...); se quel limite non viene zero, qualsiasi cosa venga che sia diversa da zero, allora CERTAMENTE la serie diverge.
Nel nostro caso quel limite viene zero perche hai detto che il fattoriale va all infinito piu velocemente di qualsiasi altra potenza;e la serie converge..ma con quale velocita lo abbiamo stabilito?deve essere maggiore di 1..
Nel nostro caso quel limite viene zero perche hai detto che il fattoriale va all infinito piu velocemente di qualsiasi altra potenza;e la serie converge..ma con quale velocita lo abbiamo stabilito?deve essere maggiore di 1..
non ci intterssa sapere la velocità esatta, ci interessa sapere che sia di ordine maggiore di $1$ e lo è perchè
\[\lim_{n\to+\infty}\frac{n^{100000}}{n!}=0\]
\[\lim_{n\to+\infty}\frac{n^{100000}}{n!}=0\]
Ok..quindi nello svolgere una serie,il limite ci serve solo alla fine per esempio nel nostro caso per sapere se tendeva a 0..ma non va svolto oppure si e per questo che si studiano anche i limiti di successioni?
va svolto si!! be serie e successioni sono sostanzialmente la stessa cosa ...
Eh si pero la prof mi ha confuso infatti perche quando sono andato a ricevimento mi ha detto ti devi studiare le successioni se no e normale che non riesci a "finire" l esercizio,riferendosi all esercizio sopracitato..alla parte dove mi ero bloccato..
Senti se metto un limite di successione,non e che potresti gentilmente svolgerlo e spiegarmelo passo passo e terra terra?Perche alla soluzione che c e non ciò capito niente..
Senti se metto un limite di successione,non e che potresti gentilmente svolgerlo e spiegarmelo passo passo e terra terra?Perche alla soluzione che c e non ciò capito niente..
prova a scriverlo e a spiegare cosa ti confonde
Lim per n-->+infinito di (1+1/3*n)^2*n.
Beh,non saprei propio da dove cominciare..
Beh,non saprei propio da dove cominciare..
intanto usa il simbolo del dollaro tra le formule altrimenti non ci capiamo,
\begin{align}
\lim_{n\to+\infty} \left(1+\frac{1}{3n}\right)^{2n}
\end{align}
scusa ma il limite notevole
\begin{align}
\lim_{n\to+\infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}
\end{align}
quanto fa?
\begin{align}
\lim_{n\to+\infty} \left(1+\frac{1}{3n}\right)^{2n}
\end{align}
scusa ma il limite notevole
\begin{align}
\lim_{n\to+\infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}
\end{align}
quanto fa?
allora 1/n dovrebbe fare 0,e quindi 1+0 = 1???Non me li ricordo e questo il problema e pensavo che non li avrei piu ripresi..
...è il numoro di Eulero $e$ ....
ti consiglio di riprendere il libro di Analisi 1 ...
\begin{align} \lim_{n\to+\infty} \left(1+\frac{1}{3n}\right)^{2n}= \lim_{n\to+\infty} \left[ \left(1+\frac{1}{3n}\right)^{3n\cdot\frac{1}{3}}\right]^2 = \lim_{n\to+\infty} \left[ \left(1+\frac{1}{3n}\right)^{3n }\right]^{\frac{2}{3}}=e^{2/3}\end{align}
ti consiglio di riprendere il libro di Analisi 1 ...
\begin{align} \lim_{n\to+\infty} \left(1+\frac{1}{3n}\right)^{2n}= \lim_{n\to+\infty} \left[ \left(1+\frac{1}{3n}\right)^{3n\cdot\frac{1}{3}}\right]^2 = \lim_{n\to+\infty} \left[ \left(1+\frac{1}{3n}\right)^{3n }\right]^{\frac{2}{3}}=e^{2/3}\end{align}
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo