Aiuto Serie e Funzione sommabile
Ciao a tutti! Ho da determinare il carattere di questa serie:
\(\displaystyle \Sigma \log (1+\frac {3}{\sqrt n})-3\sin (\frac {1}{\sqrt n}) \)
L'ho considerata come combinazione lineare di due serie.
Ho verificato che la prima è a termini positivi per ogni n. E applicando il criterio della radice ho ottenuto:
\( \lim_{n\rightarrow \infty } log(1+\frac {3}{\sqrt n})^{\frac{1}{n}} = \lim_{n\rightarrow \infty } \frac{1}{n}log(1+\frac {3}{\sqrt n})=0 \)
Quindi è convergente!
Adesso però mi sono bloccato sulla seconda parte!
Qualcuno sa aiutarmi? Potete dirmi se i passaggi fatti fin'ora sono esatti?
Secondo quesito: determinare i valori del parametro reale "a", con a diverso da 0 per i quali la seguente funzione è sommabile in ]0;1]
\( f(x)=\frac {\arctan x^{2/a}}{\sin \sqrt x +x} \)
Non so da dove iniziare, ho provato a calcolare il limite di f(x)/g(x) con g(x)= 1/x^b, ma non riesco!
Grazie in anticipo!
\(\displaystyle \Sigma \log (1+\frac {3}{\sqrt n})-3\sin (\frac {1}{\sqrt n}) \)
L'ho considerata come combinazione lineare di due serie.
Ho verificato che la prima è a termini positivi per ogni n. E applicando il criterio della radice ho ottenuto:
\( \lim_{n\rightarrow \infty } log(1+\frac {3}{\sqrt n})^{\frac{1}{n}} = \lim_{n\rightarrow \infty } \frac{1}{n}log(1+\frac {3}{\sqrt n})=0 \)
Quindi è convergente!
Adesso però mi sono bloccato sulla seconda parte!
Qualcuno sa aiutarmi? Potete dirmi se i passaggi fatti fin'ora sono esatti?
Secondo quesito: determinare i valori del parametro reale "a", con a diverso da 0 per i quali la seguente funzione è sommabile in ]0;1]
\( f(x)=\frac {\arctan x^{2/a}}{\sin \sqrt x +x} \)
Non so da dove iniziare, ho provato a calcolare il limite di f(x)/g(x) con g(x)= 1/x^b, ma non riesco!
Grazie in anticipo!
Risposte
la serie non va bene; devi utilizzare gli sviluppi di Taylor per studiarne il carattere; per il secondo si tratta di studiare l'integrale improprio
\[\int_{0}^{1}\frac{\arctan x^{x/a}}{\sin\sqrt x-x},\]
quindi considerare il comportamento asintotico della funzione integranda, essendo mepre positiva in $[0;1],$ per $x\to 0.$
\[\int_{0}^{1}\frac{\arctan x^{x/a}}{\sin\sqrt x-x},\]
quindi considerare il comportamento asintotico della funzione integranda, essendo mepre positiva in $[0;1],$ per $x\to 0.$
Grazie.. Adesso ci provo! Mi chiedevo però.. Se avessi una serie formata solo dalla prima parte, quella con il logaritmo, il ragionamento che ho fatto sarebbe comunque sbagliato? Purtroppo ho dei grossi dubbi con le serie che sto cercando di risolvere..
E si sarebbe sbagliato, perchè considerando la serie
\[ \sum_{n=1}^{+\infty} \ln\left(1+\frac {3}{\sqrt n}\right), \]
è vero che il limite del termine generale va a $0$, ma questo non ti assicura che la seire risulti convergente; infatti il tendere a $0$ del termine generale della serie è condizione necessaria per la convergenza ma non sufficiente per garantirla; in altre parole, se il limite del termine generale va a $0$ allora la serie potrebbe converge; d'altra parte, se il termine generale non tende a $0$ allora sicuramenete la serie non converge. Quando il termine generale risulta infinitesimo, allora possiamo cercare la convergenza con i criteri per le serie a termini positivi (radice, rapporto, confronto ...); evidentemete nel caso della serie in esame è comodo usare il confronto asintotico:
\[ \ln\left(1+\frac {3}{\sqrt n}\right)\sim \frac {3}{\sqrt n}\to \mbox{diverge;}\]
per confronto quindi anche la serie data risulta divergente.
\[ \sum_{n=1}^{+\infty} \ln\left(1+\frac {3}{\sqrt n}\right), \]
è vero che il limite del termine generale va a $0$, ma questo non ti assicura che la seire risulti convergente; infatti il tendere a $0$ del termine generale della serie è condizione necessaria per la convergenza ma non sufficiente per garantirla; in altre parole, se il limite del termine generale va a $0$ allora la serie potrebbe converge; d'altra parte, se il termine generale non tende a $0$ allora sicuramenete la serie non converge. Quando il termine generale risulta infinitesimo, allora possiamo cercare la convergenza con i criteri per le serie a termini positivi (radice, rapporto, confronto ...); evidentemete nel caso della serie in esame è comodo usare il confronto asintotico:
\[ \ln\left(1+\frac {3}{\sqrt n}\right)\sim \frac {3}{\sqrt n}\to \mbox{diverge;}\]
per confronto quindi anche la serie data risulta divergente.
Ho capito, sei stato chiarissimo. Mi sa che devo rivedere un po tutto!
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