Aiuto serie
Buona sera! trovo delle difficoltà nella risoluzione di queste serie ... perchè, almeno dai miei ragionamenti risulterebbe positivamente divergente, ma poi non so che fare ....
anzitutto l'esercizio è scritto cosi
\begin{align*}
\sum_{n=1}^\infty\,\, \frac{(n-3)!\left[(3^n+7n^2)\left(\displaystyle\frac{1+(-1)^n n^2}{9^n}\right)+\displaystyle\frac{n!+1+7^n}{n(n-1)}\right]}{n^2+(-1)^n\cdot\displaystyle\frac{n^2+1}{n+1}+n!\left[(n^2-1)\cdot\displaystyle\frac{n^{100}+(2n-1)!}{n^{2n}}\right]}
\end{align*}
ma evidentemente per $n=1$ e $n=2$ la serie non ha senso, quindi immagino ci sia stato un errore di battitura e dunque considero la serie
\begin{align*}
\sum_{n=3}^\infty\,\, \frac{(n-3)!\left[(3^n+7n^2)\left(\displaystyle\frac{1+(-1)^n n^2}{9^n}\right)+\displaystyle\frac{n!+1+7^n}{n(n-1)}\right]}{n^2+(-1)^n\cdot\displaystyle\frac{n^2+1}{n+1}+n!\left[(n^2-1)\cdot\displaystyle\frac{n^{100}+(2n-1)!}{n^{2n}}\right]}
\end{align*}
In questo coso, la serie non è termini positivi, in quanto la presenza del deviatore di segno $(-1)^n$ sia a numeratore si a denominatore non mantiene il segno constante; consideriamo allora il valore assoluto del termine generale:
\begin{align*}
&\left|\frac{(n-3)!\left[(3^n+7n^2)\left(\displaystyle\frac{1+(-1)^n n^2}{9^n}\right)+\displaystyle\frac{n!+1+7^n}{n(n-1)}\right]}{n^2+(-1)^n\cdot\displaystyle\frac{n^2+1}{n+1}+n!\left[(n^2-1)+\displaystyle\frac{n^{100}+(2n-1)!}{n^{2n}}\right]}\right|\\
&=\frac{\left|(n-3)!\left[(3^n+7n^2)\left(\displaystyle\frac{1+(-1)^n n^2}{9^n}\right)+\displaystyle\frac{n!+1+7^n}{n(n-1)}\right]\right|}{\left|n^2+(-1)^n\cdot\displaystyle\frac{n^2+1}{n+1}+n!\left[(n^2-1)+\displaystyle\frac{n^{100}+(2n-1)!}{n^{2n}}\right]\right|}
\end{align*}
Consideriamo dapprima il numeratore:
\begin{align*}
|N(n)|&= \left|(n-3)!\right| \left|\left[(3^n+7n^2)\left(\displaystyle\frac{1+(-1)^n n^2}{9^n}\right)+\displaystyle\frac{n!+1+7^n}{n(n-1)}\right]\right| \\
&=(n-3)!\left|\left[(3^n+7n^2)\left(\displaystyle\frac{1+(-1)^n n^2}{9^n}\right)+\displaystyle\frac{n!+1+7^n}{n(n-1)}\right]\right|\\
&\le(n-3)!\left[\left|(3^n+7n^2)\left(\displaystyle\frac{1+(-1)^n n^2}{9^n}\right)\right|+\left|\displaystyle\frac{n!+1+7^n}{n(n-1)}\right|\right]\\
&=(n-3)!\left[(3^n+7n^2)\left|\left(\frac{1+(-1)^n n^2}{9^n}\right)\right|+\frac{n!+1+7^n}{n(n-1)}\right]\\
&=(n-3)!\left[(3^n+7n^2)\left(\frac{|1+(-1)^n n^2|}{9^n}\right)+\frac{n!+1+7^n}{n(n-1)}\right]\\
&\le (n-3)!\left[(3^n+7n^2)\left(\frac{1+|(-1)^n n^2|}{9^n}\right)+\frac{n!+1+7^n}{n(n-1)}\right]\\
&=(n-3)!\left[(3^n+7n^2)\left(\frac{1+|(-1)^n| n^2 }{9^n}\right)+\frac{n!+1+7^n}{n(n-1)}\right]\\
&=(n-3)!\left[(3^n+7n^2)\left(\frac{1+ n^2}{9^n}\right)+\frac{n!+1+7^n}{n(n-1)}\right]
\end{align*}
Dunque in definitiva:
\begin{align*}
N(n) \le(n-3)!\left[(3^n+7n^2)\left(\frac{1+ n^2}{9^n}\right)+\frac{n!+1+7^n}{n(n-1)}\right]
\end{align*}
Considerando il comportamento asintotico abbiamo:
\begin{align*}
(n-3)!\left[(3^n+7n^2)\left(\frac{1+ n^2}{9^n}\right)+\frac{n!+1+7^n}{n(n-1)}\right]&\sim (n-3)!\left[3^n\left(\frac{ n^2}{9^n}\right)+\frac{n!}{n^2}\right]=(n-3)!\left[\frac{ n^2}{3^n}+\frac{n!}{n^2}\right]\\
&\sim \frac{n!(n-3)!}{n^2}
\end{align*}
Consideriamo ora il denominatore:
\begin{align*}
|D(n)|&\le \left|n^2+(-1)^n\cdot\displaystyle\frac{n^2+1}{n+1}\right|+\left|n!\left[(n^2-1)+\displaystyle\frac{n^{100}+(2n-1)!}{n^{2n}}\right]\right|\\
&\le\left|n^2\right|+\left|(-1)^n\cdot\displaystyle\frac{n^2+1}{n+1}\right|+n!\left[(n^2-1)+\displaystyle\frac{n^{100}+(2n-1)!}{n^{2n}}\right]\\
&=n^2+\frac{n^2+1}{n+1}+n!\left[(n^2-1)+\frac{n^{100}+(2n-1)!}{n^{2n}}\right]
\end{align*}
Considerando il comportamento asintotico abbiamo:
\begin{align*}
n^2+\frac{n^2+1}{n+1}+n!\left[(n^2-1)+\frac{n^{100}+(2n-1)!}{n^{2n}}\right]\sim n^2+n!\left(n^2+\frac{(2n-1)!}{n^{2n}}\right)\sim n^2+n^2n!\sim n^2n!
\end{align*}}
in definitiva il termine generale della serie data si comporta asintoticamente come
\begin{align*}
\frac{n!(n-3)!}{n^4 n!} \to \mbox{Diverge}
\end{align*}
e quindi sono fregato!!!!!
che posso fare?
anzitutto l'esercizio è scritto cosi
\begin{align*}
\sum_{n=1}^\infty\,\, \frac{(n-3)!\left[(3^n+7n^2)\left(\displaystyle\frac{1+(-1)^n n^2}{9^n}\right)+\displaystyle\frac{n!+1+7^n}{n(n-1)}\right]}{n^2+(-1)^n\cdot\displaystyle\frac{n^2+1}{n+1}+n!\left[(n^2-1)\cdot\displaystyle\frac{n^{100}+(2n-1)!}{n^{2n}}\right]}
\end{align*}
ma evidentemente per $n=1$ e $n=2$ la serie non ha senso, quindi immagino ci sia stato un errore di battitura e dunque considero la serie
\begin{align*}
\sum_{n=3}^\infty\,\, \frac{(n-3)!\left[(3^n+7n^2)\left(\displaystyle\frac{1+(-1)^n n^2}{9^n}\right)+\displaystyle\frac{n!+1+7^n}{n(n-1)}\right]}{n^2+(-1)^n\cdot\displaystyle\frac{n^2+1}{n+1}+n!\left[(n^2-1)\cdot\displaystyle\frac{n^{100}+(2n-1)!}{n^{2n}}\right]}
\end{align*}
In questo coso, la serie non è termini positivi, in quanto la presenza del deviatore di segno $(-1)^n$ sia a numeratore si a denominatore non mantiene il segno constante; consideriamo allora il valore assoluto del termine generale:
\begin{align*}
&\left|\frac{(n-3)!\left[(3^n+7n^2)\left(\displaystyle\frac{1+(-1)^n n^2}{9^n}\right)+\displaystyle\frac{n!+1+7^n}{n(n-1)}\right]}{n^2+(-1)^n\cdot\displaystyle\frac{n^2+1}{n+1}+n!\left[(n^2-1)+\displaystyle\frac{n^{100}+(2n-1)!}{n^{2n}}\right]}\right|\\
&=\frac{\left|(n-3)!\left[(3^n+7n^2)\left(\displaystyle\frac{1+(-1)^n n^2}{9^n}\right)+\displaystyle\frac{n!+1+7^n}{n(n-1)}\right]\right|}{\left|n^2+(-1)^n\cdot\displaystyle\frac{n^2+1}{n+1}+n!\left[(n^2-1)+\displaystyle\frac{n^{100}+(2n-1)!}{n^{2n}}\right]\right|}
\end{align*}
Consideriamo dapprima il numeratore:
\begin{align*}
|N(n)|&= \left|(n-3)!\right| \left|\left[(3^n+7n^2)\left(\displaystyle\frac{1+(-1)^n n^2}{9^n}\right)+\displaystyle\frac{n!+1+7^n}{n(n-1)}\right]\right| \\
&=(n-3)!\left|\left[(3^n+7n^2)\left(\displaystyle\frac{1+(-1)^n n^2}{9^n}\right)+\displaystyle\frac{n!+1+7^n}{n(n-1)}\right]\right|\\
&\le(n-3)!\left[\left|(3^n+7n^2)\left(\displaystyle\frac{1+(-1)^n n^2}{9^n}\right)\right|+\left|\displaystyle\frac{n!+1+7^n}{n(n-1)}\right|\right]\\
&=(n-3)!\left[(3^n+7n^2)\left|\left(\frac{1+(-1)^n n^2}{9^n}\right)\right|+\frac{n!+1+7^n}{n(n-1)}\right]\\
&=(n-3)!\left[(3^n+7n^2)\left(\frac{|1+(-1)^n n^2|}{9^n}\right)+\frac{n!+1+7^n}{n(n-1)}\right]\\
&\le (n-3)!\left[(3^n+7n^2)\left(\frac{1+|(-1)^n n^2|}{9^n}\right)+\frac{n!+1+7^n}{n(n-1)}\right]\\
&=(n-3)!\left[(3^n+7n^2)\left(\frac{1+|(-1)^n| n^2 }{9^n}\right)+\frac{n!+1+7^n}{n(n-1)}\right]\\
&=(n-3)!\left[(3^n+7n^2)\left(\frac{1+ n^2}{9^n}\right)+\frac{n!+1+7^n}{n(n-1)}\right]
\end{align*}
Dunque in definitiva:
\begin{align*}
N(n) \le(n-3)!\left[(3^n+7n^2)\left(\frac{1+ n^2}{9^n}\right)+\frac{n!+1+7^n}{n(n-1)}\right]
\end{align*}
Considerando il comportamento asintotico abbiamo:
\begin{align*}
(n-3)!\left[(3^n+7n^2)\left(\frac{1+ n^2}{9^n}\right)+\frac{n!+1+7^n}{n(n-1)}\right]&\sim (n-3)!\left[3^n\left(\frac{ n^2}{9^n}\right)+\frac{n!}{n^2}\right]=(n-3)!\left[\frac{ n^2}{3^n}+\frac{n!}{n^2}\right]\\
&\sim \frac{n!(n-3)!}{n^2}
\end{align*}
Consideriamo ora il denominatore:
\begin{align*}
|D(n)|&\le \left|n^2+(-1)^n\cdot\displaystyle\frac{n^2+1}{n+1}\right|+\left|n!\left[(n^2-1)+\displaystyle\frac{n^{100}+(2n-1)!}{n^{2n}}\right]\right|\\
&\le\left|n^2\right|+\left|(-1)^n\cdot\displaystyle\frac{n^2+1}{n+1}\right|+n!\left[(n^2-1)+\displaystyle\frac{n^{100}+(2n-1)!}{n^{2n}}\right]\\
&=n^2+\frac{n^2+1}{n+1}+n!\left[(n^2-1)+\frac{n^{100}+(2n-1)!}{n^{2n}}\right]
\end{align*}
Considerando il comportamento asintotico abbiamo:
\begin{align*}
n^2+\frac{n^2+1}{n+1}+n!\left[(n^2-1)+\frac{n^{100}+(2n-1)!}{n^{2n}}\right]\sim n^2+n!\left(n^2+\frac{(2n-1)!}{n^{2n}}\right)\sim n^2+n^2n!\sim n^2n!
\end{align*}}
in definitiva il termine generale della serie data si comporta asintoticamente come
\begin{align*}
\frac{n!(n-3)!}{n^4 n!} \to \mbox{Diverge}
\end{align*}
e quindi sono fregato!!!!!
che posso fare?
Risposte
Mi sembra che abbia ragione, ma non credo che tu debba veramente calcolare quella somma, ma solo stabilire se converge o meno, quindi avresti finito.
ma come? ho studiato la convergenza assoluta e mi risulta positivamente divergente, ma potrebbe convergere semplicemente, o anche divergere; solo che non saprei che strada intraprendere ...
Ok (non avevo letto tutti i passaggi intermedi), 2 osservazioni:
1. Innanzitutto non c'è bisogno di studiare la convergenza assoluta, ma basta trovare l'ordine di infinito del numeratore e del denominatore, quindi devi considerare solo i termini dominanti.
In pratica il discorso è un po' più semplice di come hai fatto.
Ad esempio al numeratore, dentro la parentesi quadra, l'infinito d'ordine più grande è dato dal termine $(n!)/(n(n-1))$, tutto il resto è più piccolo e quindi lo puoi trascurare.
Se fai lo stesso ragionamento al denominatore, trovi esattamente gli stessi risultati che hai già calcolato, solo che non stai valutando la convergenza assoluta, ma gli ordini di infinito, il che ti permette di concludere che la serie diverge. E tra l'altro risulta che i termini sono definitivamente positivi (cioè positivi da un certo punto in poi).
2. Se anche studiassi la convergenza assoluta e trovassi che il termine generale della serie è divergente in modulo, puoi comunque dire che la serie non converge, perchè se il termine generale diverge in modulo non è infinitesimo.
Il dubbio potrebbe sorgere se il termine generale della serie fosse infinitesimo, ma non si avesse convergenza assoluta.
1. Innanzitutto non c'è bisogno di studiare la convergenza assoluta, ma basta trovare l'ordine di infinito del numeratore e del denominatore, quindi devi considerare solo i termini dominanti.
In pratica il discorso è un po' più semplice di come hai fatto.
Ad esempio al numeratore, dentro la parentesi quadra, l'infinito d'ordine più grande è dato dal termine $(n!)/(n(n-1))$, tutto il resto è più piccolo e quindi lo puoi trascurare.
Se fai lo stesso ragionamento al denominatore, trovi esattamente gli stessi risultati che hai già calcolato, solo che non stai valutando la convergenza assoluta, ma gli ordini di infinito, il che ti permette di concludere che la serie diverge. E tra l'altro risulta che i termini sono definitivamente positivi (cioè positivi da un certo punto in poi).
2. Se anche studiassi la convergenza assoluta e trovassi che il termine generale della serie è divergente in modulo, puoi comunque dire che la serie non converge, perchè se il termine generale diverge in modulo non è infinitesimo.
Il dubbio potrebbe sorgere se il termine generale della serie fosse infinitesimo, ma non si avesse convergenza assoluta.
ti ringrazio ... quindi bisogna stare attenti all'utilizzo disinvolto del valore assoluto; nel senso, io non sono stato in grado di affermare che la serie riuslta a termini positivi, la presenza di $(-1)^n $ mi ha "inquietato" e quindi nel dubbio ho molto grezzamente preso il valore assoluto del termine generale e ho sperato che mi venisse assolutamente convergente. Ma questo in definitiva mi ha mandato fuori strada perche non sono stato in grado di concludere ....
"Noisemaker":
la presenza di $(-1)^n $ mi ha "inquietato" e quindi nel dubbio ho molto grezzamente preso il valore assoluto del termine generale e ho sperato che mi venisse assolutamente convergente. Ma questo in definitiva mi ha mandato fuori strada perche non sono stato in grado di concludere ....
Esatto, non è sempre necessario lo studio dell'assoluta convergenza; qui inoltre i termini col $(-1)^n$ asintoticamente spariscono.
"Noisemaker":
io non sono stato in grado di affermare che la serie riuslta a termini positivi
Probabilmente intendevi corretto, ma meglio precisare: non ho detto che la serie è "a termini positivi" (può anche darsi, ma non ho controllato), però di sicuro è "definitivamente a termini positivi". Ti è nota la differenza?
be ... intuivamente mi è nota : la serie risulta a termini definitivamente positivi se da un certo indice in poi risulta definitivamente positiva, cioè può anche darsi che per i primi $k$ termini risulti di segno non costante, ma poi i termini che sono maggori di $k$ risultano sempre di segno costante; in tal caso i criteri sono tutti applicabili e la serie si può studiare tranqullamente( ... be più o meno tranquillamente!!). Tuttavia ho un'ultima domanda: per fare il confronto e il confronto asintotico, devo necessariamente essere difronte ad una serie a termini positivi, e questo non vuol dire considerare gli infiniti di ordine superiore dei vari addendi?
"Noisemaker":
per fare il confronto e il confronto asintotico, devo necessariamente essere difronte ad una serie a termini positivi
Non proprio, se nell'esempio precedente ci fosse un $(-1)^n$ davanti a tutto, la serie non sarebbe nemmeno definitivamente a termini positivi, tuttavia potresti fare le stesse stime che hai già fatto e notare che il termine generale non è infinitesimo, quindi la serie non può convergere.
"Noisemaker":
e questo non vuol dire considerare gli infiniti di ordine superiore dei vari addendi?
Se intendi dire che in una somma devi considerare solo l'addendo infinito di ordine superiore, allora sì, ed è in pratica quello che hai fatto. (l'ordine infinito superiore di un addendo non significa nulla, ogni addendo ha un suo ordine d'infinito, non tanti)
"robbstark":
[quote="Noisemaker"] e questo non vuol dire considerare gli infiniti di ordine superiore dei vari addendi?
Se intendi dire che in una somma devi considerare solo l'addendo infinito di ordine superiore, allora sì, ed è in pratica quello che hai fatto. (l'ordine infinito superiore di un addendo non significa nulla, ogni addendo ha un suo ordine d'infinito, non tanti)[/quote]
si mi sono speigato male, intendevo questo ... solo che ho sempre affrontato questi problemi cercando di capire prima di tutto se mai fosse di segno costante il termine generale della serie, per poter poi studiarla con qualche criterio, compreso il confronto e il confronto asintotico... ma vedo che in realtà è sufficiente che il termine generale sia definitivamente di segno costante ... questo è molto utile, perchè come hai sottolineato, facendo un confronto tra infiniti
\begin{align*} (3^n+7n^2)\left( \frac{1+(-1)^n n^2}{9^n}\right)+ \frac{n!+1+7^n}{n(n-1)} \sim \frac{n!+1+7^n}{n(n-1)} \sim \frac{n! }{n(n-1)} \end{align*}
e a denominatore uguale!
Direi ok; c'è solo una cosa che non ho capito se ho spiegato bene, per cui ti faccio una domanda:
che puoi dire riguardo la convergenza della serie [tex]\sum_{n=1}^{+ \infty} (-1)^{ [ \frac{n}{10} ] } \frac{ n^n }{ n! }[/tex] ?
N.B.: con [tex][ \frac{n}{10} ][/tex] intendo parte intera di [tex]\frac{n}{10}[/tex].
che puoi dire riguardo la convergenza della serie [tex]\sum_{n=1}^{+ \infty} (-1)^{ [ \frac{n}{10} ] } \frac{ n^n }{ n! }[/tex] ?
N.B.: con [tex][ \frac{n}{10} ][/tex] intendo parte intera di [tex]\frac{n}{10}[/tex].
"robbstark":
Direi ok; c'è solo una cosa che non ho capito se ho spiegato bene, per cui ti faccio una domanda:
che puoi dire riguardo la convergenza della serie [tex]\sum_{n=1}^{+ \infty} (-1)^{ [ \frac{n}{10} ] } \frac{ n^n }{ n! }[/tex] ?
N.B.: con [tex][ \frac{n}{10} ][/tex] intendo parte intera di [tex]\frac{n}{10}[/tex].
anzitutto considererei la successione $a_n=\frac{n}{10} $ che risulta illimitata superiormente; la parte intera di $[x]$ di un numero reale è il più grande intero minore o ugule a $x,$ e dunque avremo che:
\begin{align*} \left[\frac{n}{10} \right]=\begin{cases} 0, & \mbox{se }1\le n<10 \\1, & \mbox{se }n=10
\\n, & \mbox{se }n>10
\end{cases}\end{align*}
quando $n\to+\infty,$ la serie è definitivamente a segni alterni, dunque abbiamo che
\begin{align*}
(-1)^{ [ \frac{n}{10} ] } \frac{ n^n }{ n! }\sim (-1)^{n} \frac{ n^n }{ n! }
\end{align*}
A questo punto si verifica che ques'ultimo termine generale non è infinitesimo :
\begin{align*}
\lim_{n \to \infty} (-1)^{n} \frac{ n^n }{ n! }&\stackrel{Ratio}{\Longrightarrow}\lim_{n \to \infty} \frac{(-1)^{n+1} (n+1)^{n+1} }{ (n+1)!} \cdot\frac{n!}{(-1)^{n} n^n}=\lim_{n \to \infty} \frac{(-1)^{n }\cdot(-1) (n+1)^{n } (n+1)}{ n!(n+1) } \cdot\frac{n!}{(-1)^{n} n^n}\\
&=\lim_{n \to \infty} 1+\frac{1}{ n} \cdot (n+1)= e\cdot(+\infty)=+\infty>1\Rightarrow\mbox{diverge}
\end{align*}
non essendo infinitesimo il termine generale della serie, possiamo concludere che non converge.
La parte intera di $n/(10)$ non si comporta come hai scritto. La serie non è definitivamente a segni alterni, ma presenta alternativamente 10 termini consecutivi positivi e 10 consecutivi negativi.
Eppure tutto ciò non intacca il fatto che il termine generale non è infinitesimo, perchè diverge in modulo, quindi la serie non converge. (Puoi usare anche il criterio del rapporto, ma conviene sempre in modulo, altrimenti è un po' antipatico da scrivere per bene, visto lo strano comportamento di $(-1)^([n/(10)])$).
A parte queste piccole correzioni comunque ok.
Eppure tutto ciò non intacca il fatto che il termine generale non è infinitesimo, perchè diverge in modulo, quindi la serie non converge. (Puoi usare anche il criterio del rapporto, ma conviene sempre in modulo, altrimenti è un po' antipatico da scrivere per bene, visto lo strano comportamento di $(-1)^([n/(10)])$).
A parte queste piccole correzioni comunque ok.
Cavoli è vero non posso ragionare a "blocchi" di $10$, anche se in realtà divergendo ...poco cambia, ma il punto è che io devo dimostrare che diverge!! formalmente potrei scrivere cosi?
\begin{align*} (-1)^{\left[\frac{n}{10} \right]}=\begin{cases} 1, & \mbox{se } \left[\frac{n}{10} \right] \mbox{pari } \\-1, & \mbox{se } \left[\frac{n}{10} \right] \mbox{ dispari } \end{cases}\end{align*}
e porre
\begin{align*}
\sum_{n=1}^{+ \infty} (-1)^{ [ \frac{n}{10} ] } \frac{ n^n }{ n! }=\sum_{k=0}^{+ \infty} \frac{ (2k)^{2k } }{ (2k )! }-\sum_{k=0}^{+ \infty}\frac{ (2k+1)^{2k+1} }{ (2k+1)! }
\end{align*}
solo che ....a questo punto, sarei difronte a una forma indeterminata $\infty-\infty$, e non potrei concludere che, essendo somma(algebrica) di due serie divergenti la serie data per linearità diverge, giusto?
\begin{align*} (-1)^{\left[\frac{n}{10} \right]}=\begin{cases} 1, & \mbox{se } \left[\frac{n}{10} \right] \mbox{pari } \\-1, & \mbox{se } \left[\frac{n}{10} \right] \mbox{ dispari } \end{cases}\end{align*}
e porre
\begin{align*}
\sum_{n=1}^{+ \infty} (-1)^{ [ \frac{n}{10} ] } \frac{ n^n }{ n! }=\sum_{k=0}^{+ \infty} \frac{ (2k)^{2k } }{ (2k )! }-\sum_{k=0}^{+ \infty}\frac{ (2k+1)^{2k+1} }{ (2k+1)! }
\end{align*}
solo che ....a questo punto, sarei difronte a una forma indeterminata $\infty-\infty$, e non potrei concludere che, essendo somma(algebrica) di due serie divergenti la serie data per linearità diverge, giusto?
No, è quello che temevo di non avere chiarito bene.
Non devi farti tanti problemi: fai lo studio in valore assoluto, quindi guarda $(n^n)/(n!)$.
$(n^n)/(n!) -> + infty$ (vari modi per dimostrarlo), quindi è un termine non infinitesimo.
Un $(-1)^n$ davanti o un $(-1)^([n/(10)])$ o qualsiasi altra cosa che agisce solo sul segno, non riuscirà mai a fare trasformare un termine non infinitesimo in un infinitesimo, quindi la serie non converge perchè il termine generale non è infinitesimo.
Che il termine generale sia infinitesimo è condizione necessaria per la convergenza di una serie, sia essa a termini positivi, alterni, totalmente a caso, non importa.
Non devi farti tanti problemi: fai lo studio in valore assoluto, quindi guarda $(n^n)/(n!)$.
$(n^n)/(n!) -> + infty$ (vari modi per dimostrarlo), quindi è un termine non infinitesimo.
Un $(-1)^n$ davanti o un $(-1)^([n/(10)])$ o qualsiasi altra cosa che agisce solo sul segno, non riuscirà mai a fare trasformare un termine non infinitesimo in un infinitesimo, quindi la serie non converge perchè il termine generale non è infinitesimo.
Che il termine generale sia infinitesimo è condizione necessaria per la convergenza di una serie, sia essa a termini positivi, alterni, totalmente a caso, non importa.
chiaro ! ti ringrazio 
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