Aiuto serie!
Ragazzi non so come risolvere questa serie:
$\sum int_(0 )^(1) x^n e^x dx $.
Non ho proprio idea di che criterio usare o di che passaggi fare, qualche consiglio?
$\sum int_(0 )^(1) x^n e^x dx $.
Non ho proprio idea di che criterio usare o di che passaggi fare, qualche consiglio?
Risposte
Effettivamente il problema è interessante.
Si può notare facilmente che la successione degli addendi verifica la condizione necessaria alla convergenza, epperò sembra che lo studio della convergenza non sia immediato.
C'è da pensarci un po' su.
Si può notare facilmente che la successione degli addendi verifica la condizione necessaria alla convergenza, epperò sembra che lo studio della convergenza non sia immediato.
C'è da pensarci un po' su.
EDIT: La serie diverge.
Lascia stare, se lo hai letto, il messaggio di prima!!
Lascia stare, se lo hai letto, il messaggio di prima!!
Beh io credo diverga. Dopotutto [tex]x^n e^x-x^n\ge 0\quad \forall x\in [0, 1][/tex], si potrebbe a questo punto sfuttare la monotomia dell'integrale e il gioco è fatto 
"Mathcrazy":
Efin rifletti bene sull'intervallo nel quale ti viene chiesto di integrare..
quell'integrale non converge.
Occhio! Gli integrandi sono continui in [tex]$[0,1]$[/tex]...
@Mathematico: Mi riferivo ad un approccio simile, ossia senza sfruttare i classici criteri (rapporto, radice e simili) per le serie.
Si, mi sono espresso male.
Pensavo alla mersa (in barese significa "alla rovescia"
), e ragionavo sull' [tex]$ \int_{0}^{1} \sum_{n=0}^{+\infty} x^n e^x dx $[/tex].
che è un integrale divergente in [tex][0,1][/tex], ma non centra nulla!
; ogni tanto divago e trasformo gli esercizi,fateci l'abitudine!!.
Pensavo alla mersa (in barese significa "alla rovescia"
), e ragionavo sull' [tex]$ \int_{0}^{1} \sum_{n=0}^{+\infty} x^n e^x dx $[/tex].che è un integrale divergente in [tex][0,1][/tex], ma non centra nulla!
; ogni tanto divago e trasformo gli esercizi,fateci l'abitudine!!.
"gugo82":
@Mathematico: Mi riferivo ad un approccio simile, ossia senza sfruttare i classici criteri (rapporto, radice e simili) per le serie.
Sìsì, però il mio commento non era riferito a te!
. Non mi permetterei mai!!
Procederei così:
$int_(0)^(1) x^n*e^(x) dx \geq int_(0)^(1) x^n*x dx = int_(0)^(1) x^(n+1) dx=1/(n+2)$
Quindi
$sum int_(0)^(1)x^(n)*e^x dx \geq sum1/(n+2) $
Poichè $sum1/(n+2)$ diverge, anche la serie data diverge.
$int_(0)^(1) x^n*e^(x) dx \geq int_(0)^(1) x^n*x dx = int_(0)^(1) x^(n+1) dx=1/(n+2)$
Quindi
$sum int_(0)^(1)x^(n)*e^x dx \geq sum1/(n+2) $
Poichè $sum1/(n+2)$ diverge, anche la serie data diverge.
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