Aiuto serie...

[maverik_f14]

salve ragazzi avrei bisogno di una mano con una serie:
$ sum_(n) (n!)^2/((n^4)*(2n)!) $

utilizzando il criterio del rapporto sono arrivato a:
$ lim_(n) n^4/(2*(n+1)^3*(2n+1)) =1/4 $

essendo un numero inferiore a 1 la serie dovrebbe convergere ma il risultato che mi da il libro è che la serie diverge...ho provato con altri criteri ma nn sono riuscito a trovare una soluzione potrei usare il criterio del confronto ma nn so trovare una serie conosciuta che maggiora o minore questa serie.

[geme2]

non sono sicuro..comiunque io penso che quando vai ad inserire n+1 in (2n)! diventa 2(n+1)*n! e non 2n+1

[maverik_f14]

"geme":non sono sicuro..comiunque io penso che quando vai ad inserire n+1 in (2n)! diventa 2(n+1)*n! e non 2n+1

diventa (2(n+1))! che si può scrivere come (2n+2)! che diventa (2n+2)*(2n+1)*(2n)! che scomposto ancora diventa 2(n+1)*(2n+1)*(2n))! e poi scomponendo gli altri fattori semplifico e arrivo all'argomento del limite

[giamma_200]

Ciao, vorrei sapere se è corretto fare questo passaggio:
$\sum_(n=1)(x^(n-1))/(n+1)$=$(x^2)*\sum_(n=1)(x^(n+1))/(n+1)$
La somma va da 1 a +infinito... Grazie

[Gerrard1]

ciao maverik ... è molto strano perchè anche a me la tua serie viene convergente e ho fatto con un altro metodo: stirling

cioè $ n! $ viene approssimato (asintotico ) con $ n^(n)*(e^{-n})*root(2)(2pin) $


ora applicando stirling ai due fattoriali e facendo un pò di calcoli ottengo $ sqrt(pi)/(n^(7/2)*2^(2n) ) $ .... Aquesto punto posso maggiorare la serie con : $ sqrt(pi)/(n^(7/2)*2^(2n) ) <= sqrt(pi)/n^(7/2) $

e per il confronto con la serie armonica generalizzata converge (esponente maggiore di 1)

Spero di aver fatto bene i conti e attendo l'aiuto di qualche big.. Sei sicuro del risultato del libro ?

@giamma : non so se si può portare fuori dalla serie un fattore come x, però in caso devi portare fuori $ 1/(x^2) $ perchè dentro moltiplichi per $ (x^2) $

[Rigel1]

La prima serie proposta è convergente, come hai correttamente osservato utilizzando il criterio del rapporto.
In alternativa, puoi anche osservare che
$\frac{(n!)^2}{(2n)!} = \frac{n!}{(2n)(2n-1)...(n+1)} = \frac{n}{2n}\cdot \frac{n-1}{2n-1}\cdot \cdots \cdot\frac{1}{n+1} < 1$,
quindi (detto $a_n$ il termine generale)
$0\le a_n < \frac{1}{n^4}$
e concludere utilizzando il criterio del confronto.

[maverik_f14]

ok perfetto vi ringrazio

[ObServer]

Ho due dubbi in merito: prima di tutto Stirling non è un metodo, ma un'approssimazione asintotica del fattoriale; ma tolta la terminologia, trovo un pò oscuro il passaggio $2(n+1)! = (2n + 2)!$

è lecito?

[dissonance]

Per essere "lecito", è lecito: non mi risulta ci siano articoli del Codice Penale che lo puniscano. Però è ambiguo:

$[2(n+1)]! =(2n+2)!$ è vero;

$2[(n+1)!] =(2n+2)!$ fallisce per $n>0$.

[ObServer]

"dissonance":Per essere "lecito", è lecito: non mi risulta ci siano articoli del Codice Penale che lo puniscano. Però è ambiguo:

$[2(n+1)]! =(2n+2)!$ è vero;

$2[(n+1)!] =(2n+2)!$ fallisce per $n>0$.

c'è il Codice Matematico, che il matematico giura di servire con onore e fedeltà e come immaginavo, nel suo caso non funziona, perchè a quanto mi pare di capire il suo caso si riconduce al tuo secondo esempio...

MODIFICA: non avevo visto le parentesi all'inizio, che poi lui ha successivamente omesso. Ok, allora va bene.