Aiuto Serie

[nikki1]

Data SUM(ln(n+1))/(n+1)x^n
secondo i miei calcoli (sperando siano giusti)
per x>0 ho che converge per 0<=x<=1
per x<0 è a segni alterni applico leibniz è trovo che converge per -1<=x<0
visto che è lo stesso intervallo di convergenza della serie geometrica posso evitare tutti questi calcoli con qualche osservazione?

[Sk_Anonymous]

Trattandosi di una serie di potenze, è sufficiente applicare il criterio di D'Alembert, per dedurne che la serie sum[n=0...+inf] a_n x^n, con a_n := ln(n+1)/(n+1) ed n \in N, è convergente sse x è interno, o al più sulla frontiera, dell'intervallo reale (-r,r), ove r := lim[n --> +inf] a_{n+1}/a_n = 1. Considerando poi che sum[n=0...+inf] a_n diverge, per confronto con la serie armonica, e che sum[n=0...+inf] (-1)^n * a_n converge, per conseguenza del criterio di Leibniz, si conclude che la convergenza della serie di funzioni sum[n=0...+inf] ln(n+1)/(n+1) * x^n è di fatto garantita sse x \in [-1, 1[.

Saluti,
Salvatore Tringali