Aiuto Risoluzione Limite con Radicali

[Matematica929]

Salve a tutti, riuscite a darmi una mano con la risoluzoine del seguente limite ?

[tex]\lim_{x->0} \frac{ \sqrt{1+x} - \sqrt{1+2x}} { \sqrt{1-x} - \sqrt{1-2x}}[/tex]

Ho provato a razionalizzare ma non riesco a venirne a capo.
Grazie.

[Lo_zio_Tom]

"Matematica929":Salve a tutti, riuscite a darmi una mano con la risoluzoine del seguente limite ?

[tex]\lim_{x->0} \frac{ \sqrt{1+x} - \sqrt{1+2x}} { \sqrt{1-x} - \sqrt{1-2x}}[/tex]

Ho provato a razionalizzare ma non riesco a venirne a capo.
Grazie.

strano....se razionalizzi ti esce immediatamente

[marco.ceccarelli]

Per $x rarr 0$, vale il limite notevole: $(1+x)^k$ "va come" $1+kx$

[R: $-1$]

[quantunquemente]

in questo caso penso che la soluzione migliore sia quella di usare la formula approssimata $sqrt(1+z)$ circa uguale a $1+1/2z$
che si ottiene arrestando la serie di Taylor al suo secondo termine
in questo modo ti riconduci a $ lim_(x -> 0) ([(1+1/2x)-(1+x)])/([(1-1/2x)-(1-x)]) $

[Sk_Anonymous]

Ciao.

Ho provato ad applicare la regola di de l'Hopital e il limite si risolve, tendendo (se non ho sbagliato i conti) a $-1$.

Saluti.

[Lo_zio_Tom]

$(sqrt(1+x)-sqrt(1+2x))/(sqrt(1-x)-sqrt(1-2x))(sqrt(1+x)+sqrt(1+2x))/(sqrt(1+x)+sqrt(1+2x))(sqrt(1-x)+sqrt(1-2x))/(sqrt(1-x)+sqrt(1-2x))=-(sqrt(1-x)+sqrt(1-2x))/(sqrt(1+x)+sqrt(1+2x))=-1$

[Lo_zio_Tom]

"alessandro8":Ciao.

Ho provato ad applicare la regola di de l'Hopital e il limite si risolve, tendendo (se non ho sbagliato i conti) a $-1$.

Saluti.

basta una semplice razionalizzazione....

[Sk_Anonymous]

"tommik":basta una semplice razionalizzazione....

Strano... forse ho sbagliato qualche conto, ma a me risulta un espressione razionalizzata che ripresenta lo stesso tipo di forma indeterminata $[0/0]$.

Saluti.

[Lo_zio_Tom]

"alessandro8":
Strano... forse ho sbagliato qualche conto, ma a me risulta un espressione razionalizzata che ripresenta lo stesso tipo di forma indeterminata $[0/0]$.

Saluti.

di sicuro....

[Matematica929]

"tommik":$(sqrt(1+x)-sqrt(1+2x))/(sqrt(1-x)-sqrt(1-2x))(sqrt(1+x)+sqrt(1+2x))/(sqrt(1+x)+sqrt(1+2x))(sqrt(1-x)+sqrt(1-2x))/(sqrt(1-x)+sqrt(1-2x))=-(sqrt(1-x)+sqrt(1-2x))/(sqrt(1+x)+sqrt(1+2x))=-1$

GRAZIE

[Sk_Anonymous]

Razionalizzando (se non ho sbagliato qualche segno, beninteso) mi verrebbe:

$(sqrt(1-x^2)+sqrt((1+x)(1-2x))-sqrt((1-x)(1+2x))-sqrt(1-4x^2))/((1-x)-(1-2x))$

che dà ancora problemi per $x to 0$.

Saluti.

[Lo_zio_Tom]

"alessandro8":Razionalizzando (se non ho sbagliato qualche segno, beninteso) mi verrebbe:

$(sqrt(1-x^2)+sqrt((1+x)(1-2x))-sqrt((1-x)(1+2x))-sqrt(1-4x^2))/((1-x)-(1-2x))$

che dà ancora problemi per $x to 0$.

Saluti.

razionalizzi sia il numeratore che il denominatore....basta che guardi i conti che ho postato....ora ricontrollo

[Lo_zio_Tom]

@alessandro8 : ho ricontrollato e ti assicuro che va bene così...guarda pure i conti che ho messo e vedrai che la razionalizzazione elimina completamente la forma indeterminata

[Sk_Anonymous]

Comunque, almeno secondo me, anche se l'espressione ottenuta applicando la regola di de l'Hopital ha lo svantaggio di avere rapporti fra somme algebriche di frazioni, in realtà il conto è un po' meno laborioso.

Saluti.