Aiuto risoluzione Limite
Ciao a tutti, ormai è quasi un'ora che impazzisco su questo limite ma non lo riesco a risolvere:
$\lim_{x \to \infty}(2^x)/\(x^x)$
dovrebbe essere una forma indeterminata del tipo $oo/oo$ per cui provo ad applicare la regola di de l'Hopital ma mi ritrovo ad andare avanti a derivare per moltissimo tempo...
le formule di Taylor non sono state ancora spiegate quindi dovrei riuscire a risolvere il limite senza utilizzarle(tra l'altro non so neanche se potrebbero essere utili) ma non capisco come...
Qualcuno ha qualche suggerimento?
$\lim_{x \to \infty}(2^x)/\(x^x)$
dovrebbe essere una forma indeterminata del tipo $oo/oo$ per cui provo ad applicare la regola di de l'Hopital ma mi ritrovo ad andare avanti a derivare per moltissimo tempo...
le formule di Taylor non sono state ancora spiegate quindi dovrei riuscire a risolvere il limite senza utilizzarle(tra l'altro non so neanche se potrebbero essere utili) ma non capisco come...
Qualcuno ha qualche suggerimento?
Risposte
"davidinho":
$\lim_{x \to \infty}(2^x)/\(x^x)$
$\lim_{x \to \infty}(2/x)^x$
portato all'infinito fa $o^oo$ quindi zero
inoltre $x^x$ è un infinito di ordine maggiore di $a^x$
oppure puoi vedere il denominatore tramite la trasformazione $e^(xlogx)$
a quanto pare hai solo l'imbarazzo della scelta
oddio, ho pensato a tutto tranne alla soluzione più facile... 
grazie mille
grazie mille
scusate ma ho un problema con un altro limite quindi lo scrivo di nuovo in questa discussione, spero di non annoiarvi troppo...
$\lim_{n \to \infty}(e^n-e^(-n))/(e^n+e^(-n))$
in questo caso come mi consigliate di procedere? fare la derivata del numeratore e del denominatore mi sembra abbastanza inutile, il metodo usato prima non mi sembra avere a che fare con questo nuovo limite, non saprei proprio come muovermi...
$\lim_{n \to \infty}(e^n-e^(-n))/(e^n+e^(-n))$
in questo caso come mi consigliate di procedere? fare la derivata del numeratore e del denominatore mi sembra abbastanza inutile, il metodo usato prima non mi sembra avere a che fare con questo nuovo limite, non saprei proprio come muovermi...
metti in evidenza $e^n$ sia sopra che sotto
"davidinho":
fare la derivata del numeratore e del denominatore .
Hai una vaga idea della gravità di ciò che dici?!
"Lorin":
[quote="davidinho"] fare la derivata del numeratore e del denominatore .
Hai una vaga idea della gravità di ciò che dici?!
[/quote]Perché? non sarebbe ciò che permette di fare la regola di De l'Hopital?
"Mrs92":
metti in evidenza $e^n$ sia sopra che sotto
quindi otterrei
$\lim_{n \to \infty}(e^n(1-e^(-2n)))/(e^n(1+e^(-2n)))$
semplificabile in
$\lim_{n \to \infty}(1-e^(-2n))/(1+e^(-2n))$
dividendo tutto per $e^(-2n)$ otterrei
$\lim_{n \to \infty}(1/e^(-2n)-1)/(1/e^(-2n)+1)$
cioè $(-1)/1=-1$
sicuramente però ho sbagliato qualche passaggio dato che il risultato dovrebbe essere +1, ma dove?
ultimamente faccio tantissimi errori elementari...
$\lim_{n \to \infty}(1-e^(-2n))/(1+e^(-2n))$
fai il passaggio al limite et voilà!
fai il passaggio al limite et voilà!
Hai presente cosa stai facendo?! O sei una macchinetta che svolge calcoli?!
Ciò che stai facendo, si chiama limite di una successione...e la domanda è: dove sono definite le successioni?!
Comunque tiene presente che $e^(-2n)->0 , n->+oo$, quindi è inutile che dividi tutto per $e^(-2n)$
Ciò che stai facendo, si chiama limite di una successione...e la domanda è: dove sono definite le successioni?!
Comunque tiene presente che $e^(-2n)->0 , n->+oo$, quindi è inutile che dividi tutto per $e^(-2n)$
"Lorin":
Hai presente cosa stai facendo?! O sei una macchinetta che svolge calcoli?!
Ciò che stai facendo, si chiama limite di una successione...e la domanda è: dove sono definite le successioni?!
Comunque tiene presente che $e^(-2n)->0 , n->+oo$, quindi è inutile che dividi tutto per $e^(-2n)$
per il secondo punto hai ragione, non ci avevo fatto caso, per quanto riguarda le successioni sono definite per tutti i numeri naturali(zero escluso)... però ora che ci penso essendo una successione definita solo per i naturali non è una funzione continua, quindi non è derivabile, è questo il motivo per cui sarebbe un errore tentare di fare la derivata?
Io la farei ancora più semplice.
Le successioni sono definite sui numeri naturali, i cui punti non sono di accumulazione e come tu ben sai (si spera) per parlare di limite abbiamo bisogno di lavorare con punti di accumulazione, altrimenti la definizione stessa cade. Se non puoi definire il limite automaticamente cade anche il concetto di derivata che come ben sai (si spera) è il limite del rapporto incrementale.
Dunque Hopital o in generale la derivata non si possono assolutamente fare
Le successioni sono definite sui numeri naturali, i cui punti non sono di accumulazione e come tu ben sai (si spera) per parlare di limite abbiamo bisogno di lavorare con punti di accumulazione, altrimenti la definizione stessa cade. Se non puoi definire il limite automaticamente cade anche il concetto di derivata che come ben sai (si spera) è il limite del rapporto incrementale.
Dunque Hopital o in generale la derivata non si possono assolutamente fare
Quell'argomento mi ricorda molto il teorema ponte...
Ma comunque resto dell'opinione che non si possa parlare di derivata di una successione.
OT: La prima volta che mi sono scontrato con questo tipo di problema fu alla correzione dell'esame scritto di analisi I, ricordo che nello studiare una serie mediante il criterio di Leibniz, quando dovevo verificare la decrescenza della successione la derivai direttamente e la prof me lo segnò come errore e mi disse che era lecito utilizzare il teorema ponte e poi derivare, non potevo derivare direttamente la successione.
Ma comunque resto dell'opinione che non si possa parlare di derivata di una successione.
OT: La prima volta che mi sono scontrato con questo tipo di problema fu alla correzione dell'esame scritto di analisi I, ricordo che nello studiare una serie mediante il criterio di Leibniz, quando dovevo verificare la decrescenza della successione la derivai direttamente e la prof me lo segnò come errore e mi disse che era lecito utilizzare il teorema ponte e poi derivare, non potevo derivare direttamente la successione.
Siamo d'accordo allora 
"Lorin":
Quell'argomento mi ricorda molto il teorema ponte...
Ma comunque resto dell'opinione che non si possa parlare di derivata di una successione.
OT: La prima volta che mi sono scontrato con questo tipo di problema fu alla correzione dell'esame scritto di analisi I, ricordo che nello studiare una serie mediante il criterio di Leibniz, quando dovevo verificare la decrescenza della successione la derivai direttamente e la prof me lo segnò come errore e mi disse che era lecito utilizzare il teorema ponte e poi derivare, non potevo derivare direttamente la successione.
scusate se entro così in questa discussione, ma cos'è il teorema del ponte? Non l'ho mai sentito. O magari l'ho sempre chiamato in un'altra maniera..non so..
Poi quel limite se non ve ne siete accorti è la tangente iperbolica, $(e^n - e^{-n})/(e^n+e^{-n})=\tanh(n)$
e la tangente iperbolica $\lim_{n\rightarrow +\infty} \tanh(n) = 1$
Il teorema ponte sostanzialmente è quel teorema che sotto determinate ipotesi ti permette di passare dai limiti di successioni alle funzioni. Per quanto riguarda quel limite che hai ricordato, secondo me è abbastanza inutile ricondursi alla tangente iperbolica visto che $e^(-n)->0$, quindi si riduce semplicemente a $e^n/e^n$ che fa comodamente 1.
Che Hopital non si possa usare direttamente sui limiti di successioni è evidente ma lo puoi usare sulle funzioni (se le ipotesi del teorema continuano a valere) associate alle successioni con teorema del collegamento.
ok, grazie mille a tutti, devo ammettere che anche se era veramente un errore enorme fare la derivata di una successione dal basso della mia ignoranza non ci avevo assolutamente pensanto...
grazie ancora
grazie ancora
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