Aiuto risoluzione limite:
Rieccomi ancora una volta per chiedere il vostro aiuto. Questa volta non so dove mettere mano, so solo quali limiti notevoli sfruttare, ovvero:
1) $lim_(x-> \pm \infty)(1+1/x)^x=\e$
2) $lim_(x-> \pm \infty)(1+\alpha/x)^x=\e^\alpha$
Questi i due esercizi, credo speculari:
1) $lim_(x-> - \infty)(sqrt(1+log((x+1)/x))-1)/(x*(\e^(1/x^2)-1))$
2) $lim_(x-> - \infty)(x*log((x^2+1)/x^2))/(sqrt(1+tan(1/x))-1)$
Inoltre un'altro mio problema, nato da questi esercizi, è che la funzione log non può tendere a $x->-\infty$, qindi che si fa, la si prende con il minore valore del dominio possibile? Ovvero x>0? Per favore aiutatemi voi, dandomi qualche buon indizio che sono proprio in altomare.
1) $lim_(x-> \pm \infty)(1+1/x)^x=\e$
2) $lim_(x-> \pm \infty)(1+\alpha/x)^x=\e^\alpha$
Questi i due esercizi, credo speculari:
1) $lim_(x-> - \infty)(sqrt(1+log((x+1)/x))-1)/(x*(\e^(1/x^2)-1))$
2) $lim_(x-> - \infty)(x*log((x^2+1)/x^2))/(sqrt(1+tan(1/x))-1)$
Inoltre un'altro mio problema, nato da questi esercizi, è che la funzione log non può tendere a $x->-\infty$, qindi che si fa, la si prende con il minore valore del dominio possibile? Ovvero x>0? Per favore aiutatemi voi, dandomi qualche buon indizio che sono proprio in altomare.
Risposte
Ciao. Dunque, se non sbaglio il primo limite si riduce, dopo aver applicato il limite notevole del logaritmo e dell'esponenziale, anche al denominatore,
$lim_(x-> - \infty)(sqrt(1+log((x+1)/x))-1)/(x*(\e^(1/x^2)-1))$ $~~$ $lim_(x-> - \infty)(e^(1/(2x))-1)/(1/x) = 1/2$
Il logaritmo è definito per ogni x>0, e qua non c'è problema perchè l'argomento del logaritmo è sempre positivo.
Vi torna?
$lim_(x-> - \infty)(sqrt(1+log((x+1)/x))-1)/(x*(\e^(1/x^2)-1))$ $~~$ $lim_(x-> - \infty)(e^(1/(2x))-1)/(1/x) = 1/2$
Il logaritmo è definito per ogni x>0, e qua non c'è problema perchè l'argomento del logaritmo è sempre positivo.
Vi torna?
carlo1983:
Inoltre un'altro mio problema, nato da questi esercizi, è che la funzione log non può tendere a $x->-\infty$, qindi che si fa, la si prende con il minore valore del dominio possibile? Ovvero x>0? Per favore aiutatemi voi, dandomi qualche buon indizio che sono proprio in altomare.
Non è la funzione logaritmo che tende a $-\infty$ ma la variabile indipendente. La funzione in oggetto è $log(1+1/x)$, la sua variabile indipendente è la $x$, ed è definita per ogni $x$ meno l'intervallo $[-1,0]$
Non mi dite nulla ma io continuo a non capire. Ho capito, veramente sono stato affrettato, per quel che riguarda il log ed il fatto che la x -> -inf e non il log. Ed ho visto pure che l'argomento del log è uguale ad 1, quindi il log vale 0. Poi però gli unici limiti notevoli che conosco con x->+-inf li ho scritti e non vedo come possa usarli. Vi chiedo perciò se con molta pazienza potete per favore spiegarmi come siete arrivati a risolverlo. Io infatti mi trovo col numeratore = 0.
Non sarebbe più immediato utilizzare questo??
$lim_(x->x_0)([1+f(x)]^a-1)/f(x)=a$
se $lim_(x->x_0)f(x)=0$
$lim_(x->x_0)([1+f(x)]^a-1)/f(x)=a$
se $lim_(x->x_0)f(x)=0$
Ora ho capito, grazie 1000.
K.Lomax:
Non sarebbe più immediato utilizzare questo??
$lim_(x->x_0)([1+f(x)]^a-1)/f(x)=a$
se $lim_(x->x_0)f(x)=0$
Per applicarlo però devi fare la considerazione che, asintoticamente, le due funzioni, quella sotto radice e quella a denominatore vanno come $1/x$. Secondo me è inesatto applicarlo direttamente perchè le due $f(x)$ sono diverse
@Marco512
Infatti, come ho scritto, la funzione $f(x)$ a numeratore e denominatore è la stessa, altrimenti le avrei distinte. Il mio era un consiglio, non la risoluzione dell'esercizio. Per proseguire si può moltiplicare e dividere per l'opportuna $f(x)$ che in questo caso è $log((x+1)/x)$.
Infatti, come ho scritto, la funzione $f(x)$ a numeratore e denominatore è la stessa, altrimenti le avrei distinte. Il mio era un consiglio, non la risoluzione dell'esercizio. Per proseguire si può moltiplicare e dividere per l'opportuna $f(x)$ che in questo caso è $log((x+1)/x)$.
Quello che voglio capire è perchè voi avete usato dei limiti notevoli che credo possano essere usati solo per x->+-inf, se sapevo che li avrei potuti usare, l'esercizio l'avrei risolto da me. Mi spiegate questo punto per favore?
Non è importante dove tenda il limite, ti devi solo assicurare che tutta la funzione tenda a quel valore tale da poter sfruttare il limite notevole. Facciamo un esempio. E' ben noto che
$lim_(x->0)(e^x-1)/x=1$
ma è altrettanto vero che
$lim_(x->\infty)(e^(1/x)-1)/(1/x)=1$
Come vedi non è importante dove tende il limite, ma solo che tutta la funzione $e^(f(x))$ tenda ad 1 e che la $f(x)$ sia la stessa a denominatore. Capito questo non ti sarà difficile generalizzare per gli altri limiti.
$lim_(x->0)(e^x-1)/x=1$
ma è altrettanto vero che
$lim_(x->\infty)(e^(1/x)-1)/(1/x)=1$
Come vedi non è importante dove tende il limite, ma solo che tutta la funzione $e^(f(x))$ tenda ad 1 e che la $f(x)$ sia la stessa a denominatore. Capito questo non ti sarà difficile generalizzare per gli altri limiti.
Chiarissimo, oserei dire cristallino. Grazie.
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