Aiuto risoluzione Limite

[thegeekbay1]

Buonpomeriggio a tutti! Ho dei problemi con questo limite:

$ lim n-> oo (n^(1/n)+2n^((1-3n)/n))^(n^3)/(n^(n^2)) $

Scomponendo:

$ ((n^(1/n)+2n^((1-3n)/n))^(n)/(n))^(n^2) $

Faccio radice n-esima al numeratore e denominatore. Al denominatore trasformo la radice in $ n^(1/n) $ . Mettendo in evidenza $ n^(1/n) $ ottengo: $ ((1+2n^((1-3n)/n-(1/n))))^(n^2) $

Da cui: $ ((1+2n^-3)^(n^2) $

Continuando: $ (1+2(1/n)^3)^(n^2) $

Ancora: $ (1+2/n^3)^(n^2) $

Qui sorge il problema, in quanto il limite notevole è $ (1+a/x)^x $ , ma io al denominatore ho un $ n^3 $ mentre all'esponente fuori dalla parentesi un $ n^2 $

Qualcuno gentilmente riuscirebbe ad aiutarmi a capire dove sta l'errore? :S

AGGIORNAMENTO

Avevo provato in questo modo: $ (1+2(1/n)^(3(2/3)))^((3/2)n) $

E ottengo: $ (1+2(1/n)^(2))^((3/2)n^2) $

Arrivando a questo: $ (1+2(1/n)^(2))^(3n^2) $ che tramite i limiti notevoli trasformo in $ e^3 $ , però il risultato del limite deve essere $ e^2 $

[anto_zoolander]

$lim_(n->+infty)((n^(1/n)(1+2n^(-3)))^(n^3)/n^(n^2))$

$lim_(n->+infty)n^(n^2)*(1+2n^(-3))^(n^3)/n^(n^2)$

$lim_(n->+infty)(1+2/n^3)^(n^3)$

Ora basta aggiustare l'esponente per ottenere il limite notevole

$lim_(n->+infty)[(1+2/n^3)^(n^3/2)]^2=e^2$

NB

$a_n=n^3/2$ e $1/a_n=1/(n^3/2)=2/n^3,forallninNN^>$

[thegeekbay1]

"anto_zoolander":

$lim_(n->+infty)((n^(1/n)(1+2n^(-3)))^(n^3)/n^(n^2))$

$lim_(n->+infty)n^(n^2)*(1+2n^(-3))^(n^3)/n^(n^2)$

$lim_(n->+infty)(1+2/n^3)^(n^3)$

Ora basta aggiustare l'esponente per ottenere il limite notevole

$lim_(n->+infty)[(1+2/n^3)^(n^3/2)]^2=e^2$

NB

$a_n=n^3/2$ e $1/a_n=1/(n^3/2)=2/n^3,forallninNN^>$

Avevo pensato al raccoglimento, ma non in questo modo :S Grazie mille! Il mio metodo di risoluzione è da buttare completamente?

[anto_zoolander]

Non ho capito cosa ne hai fatto di $n^(n^2)$

[thegeekbay1]

"anto_zoolander":Non ho capito cosa ne hai fatto di $n^(n^2)$

L'ho portato sotto la stessa parentesi del numeratore, cioè sotto la potenza comune $ n^2 $

Lo stesso procedimento risolutivo proposto qua: viewtopic.php?f=36&t=163605#p8223314

Anche se ho avuto parecchi dubbi sulla correttezza in questo caso, per via della "doppia" potenza, avendola divisa.