Aiuto risoluzione equazione
Dovrei determinare il numero di soluzioni reali dell'equazione $ x^5 -5x = 2 $
Sono due giorni che ci ragiono su ma non riesco a capire come risolverla, quindi avrei bisogno di qualche consiglio sul modo in cui procedere.
Avendo coefficienti reali so che ha almeno una soluzione reale, ma non so come stabilire se ce ne sono altre. Potrei scomporre il primo membro banalmente come $ x(x^2 + \sqrt(5))(x^2 - \sqrt(5)) $ però mi rimane il 2 al secondo membro che non mi permette di usare l'annullamento del prodotto.
Avete qualche suggerimento?
Sono due giorni che ci ragiono su ma non riesco a capire come risolverla, quindi avrei bisogno di qualche consiglio sul modo in cui procedere.
Avendo coefficienti reali so che ha almeno una soluzione reale, ma non so come stabilire se ce ne sono altre. Potrei scomporre il primo membro banalmente come $ x(x^2 + \sqrt(5))(x^2 - \sqrt(5)) $ però mi rimane il 2 al secondo membro che non mi permette di usare l'annullamento del prodotto.
Avete qualche suggerimento?
Risposte
xxx
devi determinare il numero di soluzioni,non quali sono
studiando la funzione $y=x^5-5x-2$ puoi capire quante volte il suo grafico interseca l'asse delle $x$
studiando la funzione $y=x^5-5x-2$ puoi capire quante volte il suo grafico interseca l'asse delle $x$
Non ci avevo pensato, grazie 
Dopo aver preso fischi per fiaschi 
... ci riprovo:
a) per il teorema fondamentale avremo 5 radici (e quindi una sarà di certo reale, visti i coefficienti $a_k$ reali)
b) con Cartesio avremo che la sequenza dei coefficienti (+1,-5,-2) del polinomio P(x) presenta una sola variazione di segni, e di conseguenza di radici reali positive ne avremo una
c) andando a contare le variazioni di segno (-1,+5,-2) del polinomio Q(x)=P(-x) avremo che le radici reali negative possono essere o due o nessuna
d) andando a contare le variazioni di segno, di cui ai punti b) e c), relative alla derivata del polinomio P(x) avremo che le variazioni di segno sono rimaste una per le radici reali positive e si sono ridotte di 1 per le radici reali negative, ne segue che fra le due alternative del punto c) quella corretta sarà la seconda, ovvero due radici reali negative.
Concludiamo che avremo: una radice reale positiva, due radici reali negative e una coppia di radici complesse coniugate.
BTW Per Cauchy possiamo poi anche dire che le radici risulteranno interne al cerchio di raggio
$r=1+max|a_k|=6$
... ci riprovo:a) per il teorema fondamentale avremo 5 radici (e quindi una sarà di certo reale, visti i coefficienti $a_k$ reali)
b) con Cartesio avremo che la sequenza dei coefficienti (+1,-5,-2) del polinomio P(x) presenta una sola variazione di segni, e di conseguenza di radici reali positive ne avremo una
c) andando a contare le variazioni di segno (-1,+5,-2) del polinomio Q(x)=P(-x) avremo che le radici reali negative possono essere o due o nessuna
d) andando a contare le variazioni di segno, di cui ai punti b) e c), relative alla derivata del polinomio P(x) avremo che le variazioni di segno sono rimaste una per le radici reali positive e si sono ridotte di 1 per le radici reali negative, ne segue che fra le due alternative del punto c) quella corretta sarà la seconda, ovvero due radici reali negative.
Concludiamo che avremo: una radice reale positiva, due radici reali negative e una coppia di radici complesse coniugate.
BTW Per Cauchy possiamo poi anche dire che le radici risulteranno interne al cerchio di raggio
$r=1+max|a_k|=6$
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